обить кількість і розташування вузлів, а також гладкість функції ? (X) . Ці питання і будуть чисельно досліджені в наступних розділах.
Ми розглянемо тільки лінійну інтерполяцію, тобто таку, при якій функція g (x) розшукується у вигляді лінійної комбінації деяких функцій
В
де для k = 1,2, ..., n +1: ? k (x) - задані функції, а a k - шукані коефіцієнти.
Ясно, що з постановки задачі інтерполяції (тобто зі збігу значень інтерполянта g (x) і інтерпольованої функції ? (x) в точках x k ) випливає, що коефіцієнти a k визначаються з рішення наступної системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
В
або в розгорнутій формі
В
Абсолютно ясно, чому число коефіцієнтів a k має збігатися з числом вузлів інтерполяції x k . Це потрібно для того, щоб матриця системи була квадратної (тобто число невідомих збігалося б з числом умов, з яких знаходяться ці невідомі). Крім того, для однозначної розв'язності даної системи (при довільній правій частині) необхідно і достатньо, щоб їх визначник був різниться від нуля, тобто
В
Дуже часто в якості системи функцій ? k (x ) вибирають поліноми, наприклад ступеня x, саме:
В
Тоді відповідний інтерполянт називають інтерполяційним поліномом. Існування і єдиність інтерполяційного полінома гарантується, якщо всі вузли інтерполяції x k різні. Дійсно, визначник системи лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження коефіцієнтів a k
В
є визначником Вандермонда, який, як відомо, дорівнює
В
і, отже, відмінний від нуля у випадку, коли всі вузли x k різні. Оскільки матриця системи невирождени, то рішення системи існує і єдино. Отже, інтерполяційний поліном існує і єдиний.
Можна міркувати і по-іншому. Припустимо, що є два інтерполяційних полінома g k і h k ступеня n такі, що для довільного набору значень виконуються рівності ...
