g (x k ) = h (x k ) = y k ) для всіх k = 1,2, ..., n +1, тобто для n +1- ої точки. Тоді їх різниця h k - g k є поліномом ступеня не вище n, але звертається в нуль в n +1- ій точці. За відомою теоремою алгебри у полінома ступеня n не може бути більше ніж n коренів, отже h k - g < span align = "justify"> k ? 0 і h k ? g k . Одиничність встановлена. А так як поліном єдиний, то у відповідній системи лінійних алгебраїчних рівнянь є тільки одне рішення (для довільної правої частини). З результатів лінійної алгебри відомо, що у системи може бути або нескінченне число рішень при деяких правих частинах, або єдине, для довільної правої частини. Останнє якраз і виконується.
Отже, число вузлів інтерполяційного полінома завжди має бути на одиницю більше його ступеня. Це зрозуміло також з наступних простих міркувань: через дві точки проходить єдина пряма, через три - єдина парабола і т.д. Поліном може вийти і ступеня меншою, ніж, наприклад, якщо три точки лежать на одній прямій, то через них проходить єдиний поліном першого ступеня, проте це не порушує наших міркувань (просто коефіцієнт при старшій ступеня дорівнює нулю). Однак, існує нескінченно багато парабол, що проходять через дві точки. p align="justify"> Здавалося б, при практичній реалізації інтерполяційного процесу коефіцієнти інтерполяційного полінома a k можна знайти, безпосередньо вирішуючи систему лінійних алгебраїчних рівнянь
В
яким-небудь чисельним методом. Однак, у такого підходу є істотний недолік. Число обумовленості матриці цієї системи швидко росте з ростом числа вузлів інтерполяції, що може призвести до великих помилок при вирішенні системи з нею. br/>
2. Практична частина
2.1 Інтерполяція і згладжування
Табличні дані дуже часто зручно інтерпретувати як деяку функцію, зокрема, поліноміальну або сплайн - гладку функцію, яка на відрізках області визначення дорівнює поліномах певної міри. Будемо розрізняти два критерії наближення табличних функцій: інтерполювання, при якому апроксимуюча функція збігається з табличній у вузлах, і згладжування, засноване на мінімізації деякого критерію, наприклад, суми квадратів відхилень у вузлах. Отже, виникає завдання про побудову поліномі...
