a = О± 2 + cОІ 2
b = О± 6 - 15cО± 4 ОІ 2 + 15c 2 О± 2 ОІ 4 - c 3 ОІ 6 (20)
d = 6О± 5 ОІ - 20cО± 3 ОІ 3 + 6c 2 О±
і відповідне тотожність:
(О± 2 + cОІ 2 ) 6 = (О± 6 - 15cО± 4 ОІ 2 + 15c 2 О± 2 ОІ 4 - c 3 ОІ 6 ) 2 + c (6О± 5 ОІ - 20cО± 3 ОІ 3 + 6c 2 О±ОІ 5 ) 2 (21)
Приклад:
при О± = ОІ = 1 і c = 2 маємо:
3 6 = (1 - 30 + 60 - 8) 2 + 2 (6 - 40 + 24) 2 =
= 23 2 + 2 Г— (-10) 2 => 3 6 в‰Ў 23 2 + 2 Г— (-10) 2 в‰Ў 725. p> n = 7
Аналогічні міркування призводять до того, що рівняння
(22) a 7 = b 2 + cd 2 має наступне рішення:
В
a = О± 2 + CОІ 2
b = О± 7 - 21cО± 5 ОІ 2 + 35c 2 О± 3 ОІ 4 - 7c < sup> 3 О±ОІ 6 (23)
d = 7О± 6 ОІ - 35cО± 4 ОІ 3 + 21c 2 О± 2 ОІ 5 - c 3 ОІ
а відповідне тотожність:
(24) (О‘ 2 + cОІ 2 ) 7 в‰Ў
в‰Ў (О± 7 - 21cО± 5 ОІ 2 + 35c 2 О± 3 ОІ 4 -7c 3 О± 6 ОІ 7 ) 2 +24 + c (7О± 6 ОІ - 35cО± 4 ОІ 3 + 21c 2 О± 2 ОІ 5 - c 3 ОІ 7 )
Приклад:
при О± = ОІ = 1 і c = 2 маємо:
3 7 = (1 - 4 2 + 140 - 56) 2 + 2 (7 - 70 + 84 - 8) 2 =
= 43 2 + 2 Г— 13 2 => 3 7 в‰Ў 43 2 + 2 Г— 13 2 в‰Ў 2187. br/>
ІІ етап
Отримання загального рішення рівняння
(1) a n = b 2 + cd 2
(Нагадаємо, доказ не строге, спирається на приватні випадки)
Випишемо всі тотожності, отримані для кожного ступеня
n = 2, 3, 4, 5, 6, 7,
n = 2
(О± 2 + cОІ 2 ) 2 = (О‘ 2 - cОІ 2 ) 2 + c (2О±ОІ) 2
n = 3
(О± 2 + cОІ 2 ) 3 = (О‘ 3 - 3cО±ОІ 2 ) 2 + c (3О± 2 ОІ - CОІ 3 ) 2
n = 4
(О± 2 + cОІ 2 ) 4 = (О‘ 4 - 6cО± 2 ОІ 2 + c 2 ОІ 4 ) 2 + c (4О± 3 ОІ - 4cО±ОІ 3 ) 2
n = 5
(О± 2 + cОІ 2 ) 5 = (О‘ 5 - 10cО± 3 ОІ 2 +5 c 2 О±ОІ 4 ) 2 + c (5О± 4 ОІ - 10cО± 2 ОІ 3 + c 2 ОІ 5 ) 2
n = 6
(О± 2 + cОІ 2 ) 6 = (О‘ 6 - - 20cО± 3 ОІ 3 +6 c 2 О±ОІ 5 ) 2
n = 7
(О± 2 + cОІ 2 ) 7 = (О‘ 7 - - br/>
Аналізуючи ці тотожності, приходимо до спільного тотожності загального рівняння
a n = b 2 + cd 2 (1):
(О± 2 + CОІ 2 ) n = (О± n - k 3 cО± n < sup> -2 ОІ 2 + k 5 c 2 О± n -4 ОІ 4 - K 7 c 3 О± n -6 ОІ 6 + ...) 2 +
+ c (nО± n -1 ОІ - k 4 cО± n -3 ОІ 3 + K 6 c 2 О± n -5 ОІ 5 - K 8 c 3 О± n -7 ОІ 7 ) 2 (25)
де в правій частині тотожності 25 в обох дужках доданки представляють собою доданки бінома Ньютона
(О± + О’) n ,...
