помножених на В± c m , де m = 0,1,2,3 ...,
знак В«+В», Якщо m-парне,
k i - біномінальні коефіцієнти, де i = 3,4,5, ...,
k 1 = 1 - перші два біномінальної коефіцієнта при О± n і О± n-1 ОІ. p> k 2 = N
Дивлячись на рівняння (1) і тотожність (25), визначаємо, що рішенням рівняння (1) a n = b 2 + cd 2 є:
a = О± 2 + CОІ 2
b = О± n - k 3 cО± n -2 ОІ 2 + k 5 c 2 О± n -4 ОІ 4 - k < sub> 7 c 3 О± n -6 ОІ 6 + ...
d = nО± n -1 ОІ - k 4 cО± n -3 ОІ 3 + k 6 c 2 О± n -5 ОІ < sup> 5 - k 8 c 3 О± n-7 ОІ 7 + ..., Ч.т.д.
Затвердження. (N> 1-будь-яке натуральне)
Рівняння a n = b 2 + cd 2 (1), де c = const, має наступне рішення:
a = О± 2 + cОІ 2
(2) b = О± n - k 3 cО± n -2 ОІ 2 + k 5 c 2 О± n -4 ОІ 4 - k 7 c 3 О± n -6 ОІ 6 + ...
d = nО± n -1 ОІ - k 4 cО± n -3 ОІ 3 + k 6 c 2 О± n -5 ОІ < sup> 5 - k 8 c 3 О± n -7 ОІ 7 + ...,
k i - Біномінальні коефіцієнти ступеня n,
де i = 3, 4, 5, 6, 7; 8 ...,
k 1 = 1 перші два біномінальної
k 2 = N коефіцієнта для ступеня n,
n - Натуральна ступінь (n> 1)
Загальне доказ
(Метод математичної індукції)
Отже, нами доведена справедливість знайденого рішення (2)
рівняння (1) для ступенів n = 2, 3, 4, 5, 6, 7. p> Припустимо, що рішення (2) справедливо і для ступеня n-1. p> Тоді, позначивши біномінальні коефіцієнти для цього ступеня k i/n-1 , де i = 1, 2, 3 ..., (k 1/n-1 = 1, k 2/n-1 = n-1), можна записати тотожність:
(3) (О‘ 2 + cОІ 2 ) n-1 в‰Ў
в‰Ў (О± n-1 - k 3/n-1 cО± n-3 ОІ 2 + K 5/n-1 c 2 О± n-5 ОІ 4 - k 7/ n-1 c 3 О± n-7 ОІ 6 + ...) 2 +
(Перша дужка)
+ c (k 2/n-1 О± n-2 ОІ - ck 4/n-1 О± n -4 ОІ 3 + C 2 k 6/n-1 О± n-6 ОІ 5 - c 3 k 8/n-1 О± n-8 ОІ 7 + ...) 2 в‡’
(Друга дужка)
в‡’ (О± 2 + cОІ 2 ) n-1 в‰Ў (Перша дужка) 2 + c (друга дужка) 2 (3 ')
При знаходженні рішень рівняння (1) для приватних випадків (n = 2, 3, 4, 5, 6, 7) ми використовували співвідношення:
(4) a n = (xu - cyП…) 2 + c (xП… + yu) 2 ,
де n = 2, 3, ... 7.
x = О±
y = ОІ
a = x 2 + cy 2 = О± 2 + CОІ 2
(5) b = xu - cyП… = О±u - cОІП…
d = xП… + yu = О±П… + ОІu
де, у свою чергу
u = (Перша дужка)
П… = (Друга дужка), для n = 2, 3, 4, 5, 6, 7 у співвідношенні (3) (або (3 '))
Аналогічно розмірковуючи, спробуємо довести справедливість теореми для довільного ступеня n, припустивши, що вона справедлива для ступеня n - 1
Це означає, що треба досліджувати рішення (5) рівняння (4) (або, що теж, рівняння (1)) для довільного ступеня n.
Отже, нехай для довільного ступеня n
a = О± 2 + cОІ 2 (6)
b = О‘u - cОІП… = О± (перша дужка) - cОІ (друга дужка) =
= О± (О± n-1 -k 3/n-1 cО± n-3 ОІ 2 +
- cОІ (k 2/n-1 О± n-2 ОІ - Ck 4/n-1 О± n-4 ОІ 3 + c 2 k 6/ n-1 О± n-6 ОІ 5 - p> - c 3 k 8/ n -1 О± n < sup> -8 ОІ 7 + ...) =
= (О‘ n - ck ...
