логічним методом можна знайти рішення рівняння (1) для інших натуральних ступенів n. p> n = 4
Нехай в тотожності (2) (x 2 + cy 2 ) (u 2 + cП… 2 ) в‰Ў (xu-cyП…) 2 + c (xП… + yu) 2
a = x 2 + cy 2
a 3 = u 2 + cП… 2 (5)
тоді маємо співвідношення (x 2 + cy 2 ) 3 = u 2 + cП… 2 (6), яке є ніщо інше, як рівняння (1) з n = 3: a 3 = b 2 + cd 2 (3) (див. випадок n = 3). p> Враховуючи (3 ') і (6), отримуємо:
а = x 2 + cy 2 = О± 2 + cОІ 2 (7 ')
u = О± 3 -3cО±ОІ 2 (7) (7'')
П… = 3О± 2 ОІ-cОІ 3 (7'' ')
Враховуючи формули (10) і (11) у доказі Утвержденія1 (x = О±, y = ОІ (8)) при знаходженні рішення рівняння (1) для n = 3, автоматично поширимо його і при знаходженні рішення рівняння (1) для n> 3. Тоді, з урахуванням (5) тотожність (2) приймає вигляд:
a 4 = (xu-cyП…) 2 + c (xП… + yu) 2 => a 4 = b 2 + cd 2 (9)
де
a = x 2 + cy 2
b = xu-cyП… (10)
d = xП… + yu
Враховуючи (8), (7 '), ..., (7'''), запишемо a, b, d в системі (10) через О± і ОІ:
a = О± 2 + cОІ 2
b = О± 4 -6cО± 2 ОІ 2 + c 2 ОІ 4
d = = 4О± 3 ОІ-4cО±ОІ 3
Отже, рівняння (9) a 4 = b 2 + cd 2 має наступне рішення:
a = О± 2 + cОІ 2
b = О± 4 -6cО± 2 ОІ 2 + c 2 ОІ 4 (11) і відповідне тотожність:
d = 4О± 3 ОІ - 4cО±ОІ 3
(12)
Приклад:
при О± = ОІ = 1 і з = 2 => 3 4 = (1-12 +4) 2 +2 В· (4-8) 2 => 81 в‰Ў 49 + 32. p> n = 5
Міркування аналогічні.
Нехай в тотожності (2) (x 2 + cy 2 ) (u 2 + cП… 2 ) в‰Ў (xu -cyП…) 2 + c (xП… + yu) 2
a = x 2 + cy 2 (13)
тоді отримуємо співвідношення:
a 4 = u 2 + cП… 2
(x 2 + cy 2 ) 4 = u 2 + cП… 2 яке є ніщо інше, як рівняння (1) з n = 4: (9) a 4 = b 2 + cd 2 ) (див. випадок n = 4), рішення якого є система (11). Звідси:
a = x 2 + cy 2 = О± 2 + cОІ 2
u = О± 4 -6cО± 2 ОІ 2 + c 2 ОІ 4 (14)
П… = 4О± 3 ОІ-4cО±ОІ 3
З урахуванням (13) тотожність (2) приймає вигляд:
a 5 = (xu-cyП…) 2 + c (xП… + yu) 2 => a 5 = b 2 + cd 2 (15)
де
a = x 2 + cy 2
b = xu-cyП… (16)
d = xП… + yu
Враховуючи (8) (x = О±, y = ОІ) і (14), запишемо a, b, d в системі (16) через змінні О± і ОІ:
a = О± 2 + cОІ 2
b = xu-cyП… = О± 5 -10cО± 3 ОІ 2 +5 c 2 О±ОІ 4
d = xП… + yu = 5О± 4 ОІ-10cО± 2 ОІ 3 + c 2 ОІ 5
Отже, рівняння (15) a 5 = b 2 + cd 2 має наступні рішення:
a = О± 2 + cОІ 2
d = 5О± 4 ОІ-10cО± 2 ОІ 3 + c 2 ОІ 5 (17)
b = О± 5 -10cО± 3 ОІ 2 +5 c 2 О±ОІ 4
і відповідне тотожність:
(18)
Приклад:
при О± = ОІ = 1 і з = 2 =>
=> 3 5 = (1-20 +20) 2 +2 В· (5-20 +4) 2 = 1 2 +2 В· 11 2 => 3 5 = 1 2 +2 В· 11 2 = 243
n = 6
Рішення рівняння a 6 = b 2 + cd 2 (19) знаходяться аналогічно. Доказ спирається на відомі рішення рівняння попереднього ступеня, тобто n = 5. Рівняння (19) має наступне рішення:
...
