fy"> (2.4)
метод сходиться.
При виконанні умови (2.4) наближення x n +1 буде лежати між x n і x 0 , тобто ближче до кореня, тому при зростанні n наближення x n монотонно прагне до точного рішення. Невдалий вибір початкового наближення x 1 (x 1 < span align = "justify"> = а, рис. 2.2) може призвести до того, що подальші наближення вийдуть за межі відрізка [а, b].
Позначимо через М найбільше значення | f "(х) |, а через т - найменше значення | f '(х) | на відрізку [а, b]. Тоді абсолютні похибки двох послідовних наближень х n і x n +1 < span align = "justify"> пов'язані нерівністю
(2.5)
Оцінка (2.5) показує, що похибка апроксимації (обмеження) кожного нового наближення зменшується пропорційно квадрату похибки попереднього. Тому, якщо початкове наближення х вибрано так, що
,
то кожне нове наближення подвоює число вірних десяткових знаків, тобто збіжність буде квадратичної. Отже, метод Ньютона забезпечує швидку збіжність, якщо відомо хороше початкове наближення кореня. p> Якщо два послідовних наближення xn +1 і xn, отримані за методом Ньютона, збігаються з точністю E, то це ще не гарантує збіги з тією ж точністю наближення xn +1 з точним рішенням x0. Для оцінки похибки можна скористатися наступним нерівністю
(2.6)
Таким чином, для визначення кореня рівняння (2.1) за методом Ньютона з точністю E ітераційний процес продовжуємо доти, поки не отримаємо:
(2.7)
Якщо x 0 - кратний корінь рівняння (2.1), то метод Ньютона має лінійну збіжність, тобто сходиться зі швидкістю геометричної прогресії.
Зауважимо, що якщо похідна f '(х) мало змінюється на [а, b], і її обчислення громіздко, то ітерації можна проводити за формулою:
, n = 1, 2, 3, ... (2.8)
ітераційними схему (2.8) називають модифікованим методом Ньютона.
3. ПРОГРАМНА РЕАЛІЗАЦІЯ
3.1 Опис алгоритму і структури програми
Розглянемо структуру програми у вигляді блок-схеми (рис.4.1):
В
Рис. 4.1 - Структурна схема програми
Опис структури програми:
З початку роботи програми, в блоці № 1, вводяться кое...
