мірних систем представимо функціональні алгоритми побудови рішень задачі про теплопровідності в однорідному циліндрі.
Функціональний алгоритм побудови формальних рішень двовимірних рівнянь параболічного типу методом розділення змінних:
. Введення рівняння і поділ змінних
: = diff (u (t, r), t) = a ^ 2 * (diff (u (t, r), r, r) + (1/r) * diff (u (t, r) , r));: = pdsolve (PDE, HINT = T (t) * R (r));
В
. переобозначеніе постійною і рішення розділених рівнянь
_c [1] =-lambda ^ 2 * a ^ 2: dsolve (diff (T (t), t) =-lambda ^ 2 * a ^ 2 * T (t)); (diff (R (r ), `$` (r, 2)) =-lambda ^ 2 * R (r)-diff (R (r), r)/r);
3.Учет умови регулярності рішення на початку координат
. Облік граничної умови для вирішення на краю області: r = r0
[n] (r): = BesselJ (0, lambda [n] * r); (0, mu [n]) = 0;: = BesselJZeros: mu (0, n); [n]: = mu (0, n)/r0;
5.Висновок рішень радіального і тимчасового рівнянь
[n] (r): = BesselJ (0, r * lambda [n]); [n] (t): = C [n] * exp (-lambda [n] ^ 2 * a ^ 2 * t);
. Побудова загального рішення
[n] (t, r): = T [n] (t) * R [n] (r): u (t, r): = Sum (u [n] (t, r), n = 1 .. infinity);
. Заміна змінної
(t, rho): = subs (r = rho * r0, u (t, r));
. Облік початкових умов
(subs (t = 0, u (t, rho)) = F (rho * r0));
. Визначення коефіцієнтів
[n]: = 2/BesselJ (1, BesselJZeros (0, n)) ^ 2 *
* int (rho * BesselJ (0, BesselJZeros (0, n) * rho) * F (rho * r0), rho = 0 .. 1);
. Висновок спільного рішення
(t, rho): = Sum (C [n] * exp (-BesselJZeros (0, n) ^ 2/r0 ^ 2 * a ^ 2 * t) *
* BesselJ (0, BesselJZeros (0, n) * rho), n = 1 .. infinity);
В
3. Метод функцій Гріна і інші методи
Засоби MAPLE дозволяють використовувати й інші методи розв'язання рівнянь. Розглянемо процедуру побудови формальних рішень неоднорідних рівнянь параболічного типу методом функцій Гріна. p> Основними етапами побудови розв'язку цим методом є:
) введення неоднорідного рівняння;
) введення подання для вирішення рівняння у вигляді ряду Фур'є;
) розкладання функцій в ряд Фур'є;
) визначення коефіцієнтів розкладання;
) підстановка розкладень функцій у вихідне рівняння;
) представлення рішення у вигляді суми рішень однорідного і неоднорідного рівнянь;
) облік НУ, визначення коефіцієнтів і висновок рішення однорідного рівняння;
) побудова функції Гріна;
) висновок рішення однорідного рівняння і приватного рішення неоднорідного рівняння з допомогою функції Гріна;
) висновок рішення рівняння.
Для неоднорідних рівнянь представимо функціональні алгоритми побудови рішень задачі про теплопровідності.
Функціональний алгоритм формального рішення неоднорідного рівняння параболічного типу методом функцій Гріна:
<...
