о першому випадку ознаки Коші ряд сходиться.
Якщо ж, то при всіх маємо оцінку
.
Це означає існування нескінченної кількості значень, для яких справедливо нерівність. Отже, ряд розходиться по другому нагоди ознаки Коші. Теорема доведена. [1]. p> Ознака Коші, як і ознака Даламбера, є досить грубим. Він, наприклад, теж не дозволять вирішити питання про збіжність рядів і. p> Теорема 9 (інтегральний ознака Коші - Маклорена). Нехай функція визначена на проміжку і убуває на ньому. Тоді:
. якщо при всіх і невласний інтеграл сходиться, то ряд теж сходиться;
. якщо при всіх і невласний інтеграл розходиться, то розходиться і ряд.
Доказ. Як і вище, без обмеження спільності будемо вважати, що. Далі, оскільки монотонно убуває, при всякому натуральному і маємо
.
Інтегруючи це нерівність за вказаною проміжку, отримаємо
.
При всякому підсумуємо ці нерівності по від 1 до. Отримаємо
.
Далі кожен з двох випадків будемо розглядати окремо.
. У цьому випадку інтеграл сходиться, тому при всіх для часткових сум ряду має місце единообразная оцінка виду, і оскільки для всіх натуральних, ряд сходиться, а разом з ним сходиться і мажоріруемий їм ряд, що й потрібно було довести.
. Оскільки в цьому випадку інтеграл розходиться, при. Але так як
,
то і при. А це означає, що ряд розходиться разом з низкою, для якого перший ряд за умовою є мінорантой. Теорема доведена. [1], [2]. br/>
Геометрична інтерпретація інтегрального ознаки
В
Рис.
Інтегральний ознака допускає просте геометричне тлумачення. Якщо зобразити функцію кривої (рис. 1), то інтеграл висловлювати площу фігури, обмеженою цією кривою, віссю і двома ординатами; інтеграл ж, в деякому сенсі, можна розглядати для площі всієї нескінченно тягнеться направо фігури під кривою. З іншого ж боку, члени ряду висловлюють величини ординат в точках або, що те ж, площі прямокутників з підставами 1 і з висотами, рівними згаданим ординатам. p> Таким чином, сума ряду є не що інше, як сума площ, що виходять прямокутників, і лише першим членом відрізняється від суми площ входять прямокутників. Це робить наочним встановлений вище результат: якщо площа криволінійної фігури кінцева, то й поготів конечна площа укладеної в ній ступінчастою фігури. І припущений ряд сходиться, якщо ж площа криволінійної фігури нескінченна, то нескінченна і площа містить її ступінчастою фігури, так що в цьому випадку ряд розходиться [2], [5]. br/>
Література
. Архипов Г. І. Лекції з математичного аналізу. - М.: Вища. шк., 1999, 347-366с.
. Фіхтенгольц Г. М. Курс диференціального числення. Том 2. - М.: Лань, 2002 ,11-32c. p align="justify">. Запорожець Г. І. Керівництво вирішення завдань з математичного аналізу. - М.: Вища. ...
