Таким чином, відсутність вихорів в даній області означає, що частка рідини в кожній точці цієї області може мати тільки поступальний рух і піддаватися деякої деформації, але не може відчувати вихрового обертання, кутова швидкість якого дорівнює .
Однак, це не означає, що весь потік в цілому повинен рухатися тільки прямолінійно. Якщо частинки рідини відчувають деяку деформацію в кожній точці, то їх траєкторії в загальному випадку вже будуть криволінійні. p align="justify"> З іншого боку, як відомо, при виконанні умови (2) підінтегральний вираз є повним диференціалом деякої функції ?, обумовленою рівністю
В
Причому (3):
В В
Звідки
В
Функція ? ( х, у) називається потенціалом швидкостей, а сполучена з нею функція ? (x, y) така, що , називається функцие струму. Різниця значень функцій струму ? ( x , y) - ? ( , ) виражає кількість рідини, яке протікає за одиницю часу через циліндричну поверхню одиничної висоти, яка має направляючої деяку лінію, що сполучає точки (х, у); ( , ) і утворюють, перпендикулярні до площини хОу.
Якщо невіхревой потік вільний також і від джерел, тоді умови (1) і (2) виконуються одночасно. Вносячи в цьому випадку вирази (3) в рівняння (1) , знайдемо
В
Це рівняння, що грає важливу роль в математичній фізиці, називається рівнянням Лапласа, а його рішення ф отримали назву гармонійних функцій. Вводячи спеціальний символ (званий оператором Лапласа)
В
Рівнянню Лапласа можна надати наступний вигляд:
В
Таким чином, кожен стаціонарний невіхревой і вільний від джерел потік нестисливої вЂ‹вЂ‹рідини має потенціал швидкостей ? ( х, у) , що задовольняє диференціальному рівнянню Лапласа. Легко показати, що і сполучена функція ? (х, у) також задовольняє рівнянню Лапласа: .
Криві ?
