ром і з верхньої граничної частотою fв. Якщо інтервал дискретизації ? T <2 f в, то в теоремі стверджується, що за значеннями u ( ? t), u (2? t), u (3? t), ... можна визначити точне значення сигналу u (t) для будь-якого заданого моменту часу t, що знаходиться між моментами відліку. Відповідно до цієї теоремою сигнал з обмеженим спектром і верхньої частотою wв <= w ?/2 можна уявити поруч
(2)
де u (n ? t), n = ... -1, 0, +1, ... - відліки миттєвих значень сигналу і (t), w ? = 2 В¶ f? , F? = Р… ? T - частота дискретизації за часом.
Ряд 2 має нескінченне число доданків, так що для обчислення значення сигналу u (t) у момент часу t необхідно знати значення всіх відліків і (n ? t), n = ... -1, 0, +1, ... як до, так і після зазначеного моменту t. Точне рівність в (2) досягається, тільки коли враховуються всі доданки; якщо обмежитися кінцевим числом доданків у правій частині (2), то їх сума дасть лише наближене значення сигналу u (t).
Подання сигналу u (t) поруч (2) ілюструється за допомогою рис.5.3, на якому зображені часові діаграми сигналу u (t) і трьох доданків ряду (2).
В
рис.5.3 Подання сигналу з обмеженим спектром поруч Котельникова
Таким чином, теорема Котельникова вказує умови, за яких безперервний сигнал може бути точно відновлений за відповідним йому сигналом з дискретним часом. Реальні безперервні сигнали, що підлягають передачі, як правило, мають спектри хоча і досить швидко прагнуть до нуля із зростанням частоти, але все ж необмежені. Такі сигнали можуть бути відновлені за своїми дискретним отсчетам лише приблизно. Однак, вибираючи крок дискретизації ? T досить малий, можна забезпечити пренебрежимо мале значення помилки відновлення безперервного сигналу за його переданим отсчетам в дискретні моменти часу. Наприклад, при передачі телефонного сигналу, спектр якого необмежений, зазвичай приймають, що умовна верхня гранична частота fв = 3,4 кГц. У цьому випадку отримуємо, що частота дискретизації повинна задовольняти нерівності f ? < 6,8 кГц, тобто в одну секунду має передаватися 6800 відліків. Якість передачі мови при цьому виявляється цілком задовільним.
Збільшення частоти дискретизації понад зазначеного значення припустимо і призводить до незначного підвищення т...
