ві коріння. Для цього звернемося до асимптотичного розкладання функції Бесселя (29):
В
З цієї формули видно, що при безмежному видаленні x: уздовж позитивної частини осі Ох другий доданок у квадратних дужках прагне до нуля, а перше - незліченна безліч разів змінюється від -1 до +1. Звідси безпосередньо випливає, що функція Jv (x) має незліченну безліч речових коренів. p> Таким чином, приходимо до наступного результату: якщо> -1, то функція Jv (x) має всі корені речові.
Зауважимо, крім того, що з розкладання (14), який містить тільки парні ступеня, безпосередньо випливає, що коріння Jv (x) будуть попарно однаковими за абсолютною величиною і зворотними за знаком, так що досить розглядати тільки позитивні коріння.
Нехай k1 =, k2 =, де Ојi і Ојl-два різних позитивних кореня рівняння.
В
Тоді формула (33) дає безпосередньо наступне властивість ортогональності функцій Бесселя:
В
Нехай тепер k =, де Ој - позитивний корінь рівняння (35). Візьмемо формулу (33), в якій покладемо k1 = k2, k2 а будемо вважати змінним і прагне до k, тоді отримаємо
В
При k2 -> права частина цієї рівності стає невизначеною оскільки чисельник і знаменник прямують до нуля. Розкривши цю невизначеність за правилом Лопіталя, отримаємо
В
Поклавши у формулі (22) х = Ој і взявши до уваги, що є корінь рівняння (35), отримаємо
В
і формулу (37) можна записати ще таким чином:
В
Таким чином, ми маємо
В
(> -1)
де Ојi і Ојj-позитивні корені рівняння JV (x) = 0.
Розглянемо тепер більш загальне рівняння
В
де? і?-задані дійсні числа.
5. Застосування теорії функцій Бесселя до аналізу скін-ефекту
Змінний струм на відміну від постійного НЕ розподіляється рівномірно по перетину провідника, а має велику щільність у його поверхні. Це явище називають скін-ефектом (по-англійськи skin - шкіра).
Розглянемо, для простоти, нескінченний однорідний циліндричний провід () по якому тече змінний струм. Будемо припускати, що повний струм I = I0eiwt, що протікає через перетин дроту, відомий. p> Нехтуючи струмами змішання в порівнянні з струмом провідності і вважаючи процес сталим, тобто залежних від часу за законом eiwt, отримаємо, після скорочення на множник eiwt, рівняння Максвелла у вигляді:
(1)
(2)
(3)
(4)
де. Рівняння (3) і (4) у даному випадку, очевидно, слідують з рівнянь (1) і (2). p> Введемо циліндричну систему координат () так, щоб вісь z збігалася з віссю дроти. Тоді в силу осьової симетрії струму всі величини можна вважати залежними тільки від змінної r. p> Так як у нашому випадку вектор Е спрямований вздовж осі z, то з рівнянь (1) і (2) будемо мати:
В В
Вик...
