ться через елементарні функції, а саме:
В
де Р n (1/x) - багаточлен ступеня n відносно 1/x, а
Q n-1 (1/x) - багаточлен ступеня n-1, причому P n (0) = 1, 0 n-1 (0) = 0. Звідси випливає, що при великих значеннях х має місце асимптотичне представлення функції Бесселя:
В
де через О (x -1 ) позначена величина порядку 1/x.
Зазначимо, що асимптотична формула (29) справедлива не тільки при = n +1/2, але і при всіх значеннях.
4. Ортогональность функцій Бесселя і їх коріння
Розглянемо рівняння
В
де k - деяка постійна, відмінна від нуля.
Введемо замість x нову незалежну змінну t = kx. Тоді рівняння (30) перетворюється на таке:
В
а це є рівняння Бесселя. Отже, функція y = Jv (kx) буде рішенням рівняння
В
яке розділивши на x, можемо написати у вигляді
В
Візьмемо два різних значення k і напишемо відповідні диференціальні рівняння:
В В
Примножуючи перше з цих рівностей на Jv (k2 x), а друге - на Jv (k1 x) і віднімаючи одне з іншого, після нескладних перетворень отримаємо:
В В
Якщо тепер скористатися формулою (14), то неважко переконатися, що вираз, що стоїть тут у квадратних дужках, може бути розкладено за ступенями x, причому щонайнижча ступінь х буде х2 (v +1). Звідси ясно, що цей вираз буде звертатися в нуль при х = 0, якщо> -1. Прийнявши це до уваги, проинтегрируем рівність (32) за деякому кінцевому проміжку (0, l); тоді отримаємо
В
де через (') позначається, як звичайно, диференціювання по аргументу. При l = 1 ця формула приймає вигляд:
В
Покажемо тепер, що при> -1 функція Бесселя JV (x) не може мати комплексних коренів. Припустимо, що вона має такий корінь а + ib, причому а. У розкладанні (14) усі коефіцієнти розкладання речовинні і, отже, функція J1 (x) крім кореня a + ib повинна мати і зв'язаний корінь a-ib. Звернемося до формули (34) і покладемо k1 = a + ib і k2 = a + ib; при цьому k12? K22 і формула дає
В
Величини JV (k1x) і JV (k2x) будуть комплексно сполученими, отже, в попередній формулі під знаком інтеграла стоїть позитивна величина і ця формула не може мати місця.
Функція Бесселя Jv (x) не може мати і чисто уявних коренів. Дійсно, підставивши В± ib у формулу (14), отримаємо розкладання, що містить тільки позитивні члени:
В
так як, згідно з формулою (8), гамма-функція Г (x) приймає позитивні значення при х> 0.
Покажемо тепер, що функція Jv (x) має речо...
