ися зміною Х - присутні інші фактори, невраховані в даній моделі. p> Для оцінки параметрів регресійного рівняння найбільш часто використовують метод найменших квадратів (МНК), який мінімізує суму квадратів відхилення спостережуваних значень від модельних значень.
Згідно з принципом методу найменших квадратів, оцінки таВ знаходяться шляхом мінімізації суми квадратів
В В
по всіх можливих значеннях іВ при заданих (спостережуваних) значеннях . Завдання зводиться до відомої математичної задачі пошуку точки мінімуму функції двох змінних. Точка мінімуму знаходиться шляхом прирівнювання нулю приватних похідних функції по змінним і . Це приводить до системи нормальних рівнянь
В
рішенням якої і є пара , . З огласно правилами обчислення похідних маємо
В В В
так що шукані значення , задовольняють співвідношенням
В
Цю систему двох рівнянь можна записати також у вигляді
В
Ця система є системою двох лінійних рівнянь з двома невідомими і може бути легко вирішена, наприклад, методом підстановки. У результаті отримуємо
(3.2)
Таке рішення може існувати тільки при виконанні умови
В
що рівносильно відмінності від нуля визначника системи нормальних рівнянь . Дійсно, цей визначник дорівнює
В
Остання умова називається умовою ідентифікації моделі спостережень , і означає, що не всі значення збігаються між собою . При порушенні цієї умови всі точки, лежать на одній вертикальній прямій
Оцінки і називають оцінками найменших квадратів . Звернемо ще раз увагу на отриманий вираз для . Неважко бачити, що в цей вираз входять вже знайомі нам суми квадратів, що брали участь раніше у визначенні вибіркової дисперсії
В В
Для двох змінних теоретичний коефіцієнт кореляції визначається наступним чином:
.
де - Дисперсії випадкових змінних, а їх коваріація. p> Парний коефіцієнт кореляції є показником тісноти зв'язку лише у випадку лінійної залежності між змінними і володіє наступними основними властивостями:
Коефіцієнт кореляції приймає значення в інтервалі (-1, +1), Або
В
| r xy | <1.
В
Коефіцієнт кореляції не залежить від вибору початку відліку і одиниці виміру, тобто <В
r (О± 1 X + ОІ; О± 2 Y + ОІ) = r xy ,
де О± 1, О± 2 , b - постійні величини, причому О± 1 > 0 , О± 2 > 0. p> Випадкові величини Х, Y, можна зменшувати (збільшувати) у О± разів, а також віднімати або додавати до значень одне і теж число ОІ - це не призведе до зміни коефіцієнта кореляції r . p> При r = В± 1 випадкові велічінисвязани лінійною...
