лу Сімпсона.
Розглянемо подинтегральную функцію на відрізку. Замінимо цю подинтегральную функцію інтерполяційним многочленом Лагранжа другого ступеня, що збігається з в точках x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h:
В
Проинтегрируем:
В
Формула:
В
називається формулою Сімпсона.
Отримане для інтеграла значення співпадає з площею криволінійної трапеції, обмеженою віссю, прямими, і параболою, що проходить через точки
Оцінимо тепер похибка інтегрування за формулою Сімпсона. Будемо вважати, що у на відрізку існують безперервні похідні f?, F??, F???, F????. p> Складемо різницю:
В
До кожного з цих двох інтегралів вже можна застосувати теорему про середню, оскільки безперервна на й функція неотрицательна на першому інтервалі інтегрування і непозитивним на другому (тобто не змінює знака на кожному з цих інтервалів). Тому:
В
(скористалися теоремою про середню, оскільки - безперервна функція;).
Диференціюючи двічі і застосовуючи потім теорему про середню, отримаємо для інший вираз:
, де
З обох оцінок для випливає, що формула Сімпсона є точною для многочленів ступеня не вище третьої. Запишемо формулу Сімпсона у вигляді:
,.
Якщо відрізок інтегрування занадто великий, то його розбивають на рівних частин (вважаючи), після чого до кожної пари сусідніх відрізків,, ..., застосовують формулу Сімпсона.
Формула Сімпсона в загальному вигляді:
,
Похибка формули Сімпсона - методу четвертого порядку:
,
Так як метод Сімпсона дозволяє отримати високу точність, якщо не дуже велика. В іншому випадку метод другого порядку може дати більшу точність. br/>
1.5 Геометрична ілюстрація
На відрізку довжиною 2h будується парабола (рис.1.4), що проходить через три точки,. Площа під параболою, укладена між віссю OX і прямими, приймають рівною інтегралу. br/>В
Рис.1.4. Геометрична ілюстрація методу парабол
Особливістю застосування формули Сімпсона є той факт, що число розбиття відрізка інтегрування - парне.
Якщо ж кількість відрізків розбиття - непарне, то для перших трьох відрізків слід застосувати формулу, що використовує параболу третього ступеня, що проходить через чотири перші точки, для апроксимації підінтегральної функції.
(1.3)
Це формула Сімпсона В«трьох восьмихВ».
Для довільного відрізка інтегрування формула (1.3) може бути В«продовженаВ»; при цьому число часткових відрізків повинна бути кратна трьом (точок).
В
, m = 2,3, ...
- ціла частина
Алгоритм оцінки похибки формули Сімпсона можна записати у вигляді:
В
де - коефіцієнт, що залежить від методу інтегрування і властивостей подинтегральной функції; - крок інтегрування; - п...
