орядок методу.
Правило Рунге застосовують для обчислення похибки шляхом подвійного прорахунку інтеграла з кроками h і kh.
(1.5)
(1.5) - апостериорная оцінка. Тоді Iуточн. = + Ro, уточнене значення інтеграла. p> Якщо порядок методу невідомий, необхідно обчислити I втретє з кроком, тобто:
В
з системи трьох рівнянь:
В
з невідомими I, А і p отримуємо:
(1.6)
З (1.6) випливає
В
Таким чином, метод подвійного прорахунку, використаний необхідну кількість разів, дозволяє обчислити інтеграл із заданим ступенем точності. Вибір необхідного числа розбиттів здійснюється автоматично. Можна при цьому використовувати багаторазове звернення до підпрограм відповідних методів інтегрування, не змінюючи алгоритмів цих методів. br/>
1.6 Вибір кроку інтегрування
Для вибору кроку інтегрування можна скористатися виразом залишкового члена. Візьмемо, наприклад, залишковий член формули Сімпсона:
В
Якщо ГЄ ГЄ, то ГЄ ГЄ.
За заданої точності e методу інтегрування з останнього нерівності визначаємо відповідний крок.
,.
Однак такий спосіб вимагає оцінки (що на практиці не завжди можливо). Тому користуються іншими прийомами визначення оцінки точності, які по ходу обчислень дозволяють вибрати потрібний крок h. p> Один з таких прийомів. p> Нехай, де - наближене значення інтеграла з кроком. Зменшимо крок у два рази, розбивши відрізок на дві рівні частини і (). p> Тоді,
В
Припустимо тепер, що змінюється не дуже швидко, так що майже постійна:. Тоді й, звідки, тобто. p> Звідси можна зробити такий висновок: якщо, тобто якщо,, а - необхідна точність, то крок підходить для обчислення інтеграла з достатньою точністю. Якщо ж, то розрахунок повторюють з кроком і потім порівнюють і і т.д. Це правило називається правилом Рунге. p> Однак при застосуванні правила Рунге необхідно враховувати величину похибки обчислень: із зменшенням абсолютна похибка обчислень інтеграла збільшується (залежність від обернено пропорційна) і при досить малих може виявитися більше похибки методу. Якщо перевищує, то для даного кроку застосовувати правило Рунге не можна і бажана точність не може бути досягнута. У таких випадках необхідно збільшувати значення. p> При виведенні правила Рунге користувалися припущенням, що. Якщо є лише таблиця значень, то перевірку В«на сталістьВ» можна зробити безпосередньо за таблицею. Подальший розвиток наведених алгоритмів дозволяє перейти до адаптивним алгоритмам, в яких за рахунок вибору різного кроку інтегрування в різних частинах відрізка інтегрування в залежності від властивостей зменшується кількість обчислень подинтегральной функції. p> Інша схема уточнення значень інтеграла - процес Ейтнена. Виробляється обчислення інтеграла з кроками, причому. Обчислення значень. Тоді. p> За міру точності методу Сімпсона приймають велич...
