ність,
і
Теорема Бохнера-Хінчина.
Нехай неперервна функція,, і. Для того щоб була характеристичної функцією, необхідно і достатньо, щоб вона була неотрицательно-визначеної, тобто для будь-яких дійсних і будь-яких комплексних чисел,
В
Метод характеристичних функцій також називається теоремою Леві про безперервність. Вона є результатом, що зв'язує поточечной збіжність характеристичних функцій випадкових величин зі збіжністю цих випадкових величин за розподілом. p> Суть методу характеристичних функцій полягає в наступному. Нехай {послідовність випадкових величин, не обов'язково визначених на одному вероятностном просторі <# "25" src = "doc_zip385.jpg"/>, символом. Тоді якщо за розподілом при n, і? (T) - характеристична функція X, то. p> І назад, якщо
В
де - функція дійсного аргументу, безперервна <# "25" src = "doc_zip399.jpg"/> з розподілу при n.
Так як характеристична функція будь випадкової величини неперервна в нулі, друге твердження має наступне тривіальне слідство. Якщо
В
де n (t) - характеристична функція Xn, і (t) - характеристична функція X, то з розподілу при n.
Поняття характеристичної функції може бути узагальнено на кінцеві і нескінченні системи випадкових величин (тобто на випадкові вектори і випадкові процеси).
1.3 Центральна гранична теорема для незалежних однаково розподілених випадкових величин
Нехай {} - послідовність незалежних, однаково розподілених випадкових величин. Математичне сподівання M = a, дисперсія D =, S =, а Ф (х) - функція розподілу нормального закону з параметрами (0,1). Введемо ще послідовність випадкових величин
=.
Теорема. Якщо 0 <<, то при n P ( У цьому випадку послідовність {} називається асимптотично нормальною.
З того, що М = 1 і з теорем безперервності випливає, що поряд зі слабкою збіжністю, ФМ f () Mf () для будь-якої неперервної обмеженою f має місце також збіжність М f () Mf () для будь-якої неперервної f, такий, що | f (x) |
Доказ.
Рівномірна збіжність тут є наслідком слабкої збіжності та безперервності Ф (х). Далі, без обмеження спільності можна вважати а = 0, так як інакше можна було б розглянути послідовність {}, при цьому послідовність {} не змінилася б. Стало бути, для доказу необхідної збіжності досить показати, що (t) e, коли а = 0. Маємо
(t) =
де = (t).
Так як існує М, то існує і справедливо розкладання
= + t +,
Отже, при n
В
Теорема доведена.
Теорема. (Інтегральна теорема Муавра-Лапласа)
Нехай - частота настання події А в послідовності n незалежних дослідів, у кожному з яких імовірність появи А дорівнює р.. Тоді при
В
Іншими словами, розподіл випадкової величин...
