но, що тягне за собою але не навпаки.
1.1.2 Метод характеристичних функцій
Метод характеристичних функцій, запропонований Ляпуновим, є одним з основних засобів аналітичного апарату теорії ймовірності. Також цей метод є досить ефективним при доказі найрізноманітніших граничних теорем, що й обумовлює його розвиток і широке застосування. Поряд з випадковими величинами (приймаючими дійсні значення) теорія характеристичних функцій вимагає залучення комплекснозначних випадкових величин. p> Багато з визначень і властивостей, що відносяться до випадкових величин, легко переносяться і на комплексний випадок. Так, математичне сподівання комплекснозначною випадкової величини вважається певним, якщо визначені математичні очікування і. У цьому випадку за визначенням вважаємо. З визначення незалежності випадкових елементів неважко вивести, що комплекснозначних величини, незалежні тоді і тільки тоді, коли незалежні пари випадкових величин та. p> Нехай F = F (- n-мірна функція розподілу в (Її характеристичної функцією називається функція
В
Цей інтеграл сходиться для всіх дійсних t, тому що абсолютні величини не перевищують одиниці і сходиться.
Якщо випадковий вектор, визначений на вероятностном просторі (?, F, P) зі значеннями в, то його характеристичної функцією називається функція
В
де - функція розподілу вектора).
Якщо функція F (x) має щільність f = f (x), то тоді
=
Або, в цьому випадку характеристична функція є перетворенням Фур'є функції f (x).
Також характеристичну функцію випадкового вектора можна визначити рівністю
В
З іншого боку, якщо x - дискретна випадкова величина, що приймає значення в кінцевому або рахунковому числі з імовірностями, то
В
Розглянемо основні властивості характеристичної функції:
) | (t) | для всіх t.
Бо те тому | (t) |
) (0) = 1, оскільки і g (0) =
)
) є действітельнозначной функцією тоді і тільки тоді, коли розподіл F симетрично.
, t. Тобто функції розподілу випадкових величин - і збігаються, а значить
(
)
) Нехай Y = aX + b, де X - випадкова величина з щільністю і характеристичної функцією. Тоді:
В
) Характеристична функція суми незалежних випадкових величин дорівнює добутку характеристичних функцій доданків.
Деякі приклади характеристичних функцій:
1) з імовірністю 1, тобто, те.
) Якщо має показовий розподіл з щільністю при х, то.
Характеристична функція випадкової величини однозначно визначає її функцію розподілу.
Розглянемо теорему - формулу звернення. Нехай функція розподілу і
В
її характеристична функція.
а) Для будь-яких двох точок,, де функція неперервна,
В
б) Якщо
В
то функція розподілу має щіль...
