ться до ступінчастою (або трапецієподібної) формі. Цій матриці ставиться у відповідність система, еквівалентна вихідної. Це прямий хід методу Гауса. Рішення отриманої системи здійснюється знизу вгору (зворотний хід методу Гаусcа). p> Більш детально цей процес виглядає так: матриця в результаті елементарних перетворень приймає такий вигляд:
.
Тоді можливі кілька випадків:
. Хоча б одне з чисел відмінне від нуля, тоді и система несумісна. p>. Числа, тоді
а), система спільна, має єдине рішення;
б), система спільна, має нескінченну безліч рішень.
У разі сумісності системи, ставимо останньої матриці у відповідність систему рівнянь виду
В
Цю систему переписуємо, залишаючи базисні змінні ліворуч, вільні - праворуч
В
Саме цю систему вирішуємо, починаючи знизу вгору.
В результаті отримуємо або єдине рішення, або безліч рішень, які записуються у вигляді загального рішення.
Метод Гаусса являє собою метод послідовного виключення змінної. Обчислювальна процедура гауссова винятків може бути формалізована за допомогою простих правил. p> Назвемо змінну, яка виключалася, роздільної, коефіцієнт при ній - дозволяє елементом, рядок і стовпець матриці, в якій розміщений дозволяє елемент - вирішуючими.
Перерахування елементів розширеної матриці при виконанні елементарних перетворень виконується за такими правилами:
) елементи роздільної рядка і всіх вище розташованих рядків залишаються незмінними;
) елементи дозволяє стовпця, які розташовані нижче дозволяє елемента, звертаються в нуль;
) усі інші елементи матриці обчислюються за правилом прямокутника: перетворювати елемент дорівнює різниці добутків елементів головної та побічної діагоналі.
В
Тут - дозволяє елемент, - преутворений елемент. Позначимо - елемент, який отримано обчисленням за правилом прямокутника. Тоді
.
Модифікацією методу Гауса є метод повного виключення або метод Жордана - Гаусса.
Метод повного виключення (метод Жордана-Гаусса) полягає в тому, що в результаті перетворень розширеної матриці в ній виділяється діагональна подматріца і тоді рішення вихідної системи виписується просто.
Метод повного виключення працює за такими правилами:
) призначається дозволяє елемент; їм буде коефіцієнт при невідомій, яка виключається;
) елементи роздільної рядка залишаються незмінними;
) всі елементи дозволяє стовпця (крім дозволяє елемента) замінюються нулями і залишаються такими до кінця перетворень;
) усі інші елементи матриці перераховуються за правилом прямокутника.
Метод повного виключення може бути використаний для звернення матриці (відомий також під назвою метод елементарних перетворень).
Для даної матриці-го порядку будується прямокутна матриця розміру, до якої застосовується перетворення за алгоритмом повного виключення, в результа...
