доведено звідність у полі комплексних чисел. p>
Наслідок. Для того щоб многочлен БУВ незвіднім у полі комплексних чисел, звітність, и Достатньо, щоб его степінь дорівнював одініці. p>
Теорема 5. Кожний многочлен-го степеня над полем комплексних чисел Єдиним способом розкладається на лінійні множнікі в цьом полі
, (24)
де - корені, - старший коефіцієнт многочлена.
Теорема 6. Многочлен-го степеня має в полі комплексних чисел точно коренів. p> Теорема 7 (Вієта). Для коренів алгебраїчного рівняння-го степеня
(25)
(26)
Формули (25) назіваються формулами Вієта.
Доведення теореми Вієта зводіться до звічайної перевіркі. Розкладаючі ліву Частину рівняння (25) на незвідні множнікі за формулою (24), матімемо:
В
де - корені даного многочлена або рівняння (25). Віконуючі множення в правій частіні цієї рівності, дістанемо:
В
Порівнюючі КОЕФІЦІЄНТИ прі в обох Частинами цієї рівності, матімемо формули Вієта (26). Теорему доведено. br/>
1.3 багаточленний з дійснімі коефіцієнтамі
Рівняння з дійснімі коефіцієнтамі є Поширеними и Дуже ВАЖЛИВО для практичних! застосування окремим випадка алгебраїчніх рівнянь з комплексністю коефіцієнтамі. Оскількі дійсна числа утворюють підполе поля K комплексних чисел, ВСІ результати цього параграфа, зокрема теореми про Існування комплексних коренів та їх число, залішаються справедливими и для многочленів з дійснімі коефіцієнтамі, тоб будь-який многочлен n-го степеня з дійснімі коефіцієнтамі має точно n комплексних коренів.
Альо в багатьох випадка особливий Інтерес становляит самє дійсна корені рівнянь з дійснімі коефіцієнтамі. Мі знаємо, что рівняння з дійснімі коефіцієнтамі может взагалі НЕ мати жодних дійсного кореня (Наприклад, рівняння). Прото віявляється, что основна теорема дозволяє сделать ряд вісновків и Щодо коренів рівнянь з дійснімі коефіцієнтамі. p> Теорема 8. Если комплексне число z0 є коренем многочлена з дійснімі коефіцієнтамі
(27)
то відмінюванні комплексне число такоже є коренем цього многочлена.
Доведення. Обчіслімо значення. Відокремівші дійсну и уявно частині, матімемо:
(28)
Альо є коренем многочлена (26), того, Звідки. Обчіслімо тепер вирази. Через ті что ВСІ КОЕФІЦІЄНТИ - дійсна числа, то = і того
В
Порівнюючі (26) і (27), Бачимо, что можна дістаті з у результаті заміні всех чисел відмінюванні. Оскількі над цімі числами віконуються позбав Дії додавання и множення, то и є спряжені комплексні числа, тоб =. Альо ми Вже показали, що. Отже = 0, и того є коренем даного рівняння. Теорему доведено. p> Теорема 9. Если комплексне число є коренем-ї кратності (многочлена з дійснімі коефіцієнтамі, то ві...
