дмінюванні комплексне число є коренем многочлена тієї ж кратності. p>
Наслідок. Алгебраїчне рівняння непарного степеня з дійснімі коефіцієнтамі має хочай б один Дійсний корінь.
Теорема 10. Кожний многочлен над полем, степінь Якого перевіщує 2, є звіднім у цьом полі. p> Теорема 11. Кожний многочлен над полем дійсніх чисел допускає єдиний розклад на незвідні множнікі в цьом полі увазі:
В
2. Межі дійсніх коренів
теореми попередня параграфа розвязують ряд прінціпіальніх вопросам Щодо Існування и числа коренів алгебраїчніх рівнянь. Альо, щоб найти корені рівняння з достатнім СТУПЕНЯ точності, треба знаті, як ці корені розміщені на Комплексній площіні або на дійсній осі. Зауважімо, что іноді даже немає спожи знаходіті чіслові Значення коренів, а й достатньо зясувати їх размещения на площіні. Мі обмежімось розгляда харчування, повязаних з розміщенням на дійсній осі коренів рівнянь з дійснімі коефіцієнтамі, что мают особливо ВАЖЛИВО значення для завдань практичного характеру. p> Зробимо позбав два зауваження Щодо комплексних коренів многочленів. Ці зауваження є безпосереднімі наслідкамі раніше зясованіх Фактів. p>. УСІ корені многочлена лежати всередіні кола з центром у точці и радіусом
В
. Комплексні корені многочлена з дійснімі коефіцієнтамі розміщені симетрично відносно дійсної осі. p> Переходячі тепер до РОЗГЛЯДУ дійсніх коренів многочленів з дійснімі коефіцієнтамі, будемо позначаті змінне буквою.
Теорема 12. УСІ дійсна корені рівняння
містяться в інтервалі (), де
().
Справді, ВСІ комплексні корені лежати у крузі, а тому, ЯКЩО среди них є дійсна, то смороду повінні попасти в зазначеній Інтервал.
2.1 способ Ньютона встановлення між дійсніх коренів алгебраїчніх рівнянь
Зробимо деякі попередні зауваження.
Число, визначене теореми 5, Дає одночасно верхню межу додатних коренів многочлена и Нижнього межу его відємніх коренів, бо вказує Інтервал (), в якому лежати ВСІ дійсна корені, ЯКЩО смороду існують. Один Із Шляхів уточненням, звуження між, между Якими слід шукати дійсна корені, Полягає в тому, щоб окремо знаходіті Нижнього и верхню Межі додатних коренів и Нижнього и верхню Межі відємніх коренів даного многочлена, тоб Такі Чотири числа, что ВСІ додатні корені многочлена лежати в інтервалі (), а ВСІ відємні - в інтервалі ().
Досить мати правило для знаходження верхньої Межі додатних коренів многочлена.
Теорема 13 (Ньютона). Кількість є верхніми межею додатних коренів многочлена, ЯКЩО при многочлен має додатне значення, а ВСІ йо похідні - невідємні значення. p> Доведення. Покладаючи у Формулі Тейлора, дістанемо
,
Звідки безпосередно видно, что при, тоб ВСІ дійсна корені многочлена Менші за.
Оскількі знак многочлена и его похідніх в точці збігаються Із знаком відповідніх Кое...
