ня для вирішення лінійних систем
.1 Коротка характеристика методу
Метод квадратного кореня застосовується в тому випадку, коли матриця А симетрична, тобто:
= aji (i, j = 1, 2, ..., n).
Крім того, матриця повинна бути невиродженому, тобто її визначник не повинен дорівнювати нулю (det (A) В№ 0). Таким чином, система буде мати єдине рішення.
Метод квадратного кореня дає великий виграш у часі в порівнянні з іншими методами (наприклад, методом Гаусса), так як, по-перше, істотно зменшує число множень і ділень (майже в два рази для великих n) , по-друге, дозволяє накопичувати суму творів без запису проміжних результатів. p align="justify"> Всього метод квадратних коренів вимагає [2,3] операцій множення і ділення (приблизно в два рази менше, ніж метод Гауса), а також n операцій витягання кореня.
2.2 Постановка завдання
До вирішення систем лінійних рівнянь зводяться численні практичні завдання. Запишемо ще раз систему (1.1.1) n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими [4]: ​​
В
Сукупність коефіцієнтів (aij), невідомих (хi) і вільних членів (bi) цієї системи запишемо у вигляді матриць (1.1.2) [4]: ​​
= , X = , B =
Використовуючи поняття матриці, систему рівнянь (1.1.1) можна записати в матричному вигляді:
= b (2.2.1)
Таким чином, завдання полягає в тому, щоб обчислити стовпець невідомих, використовуючи метод квадратного кореня.
2.3 Теоретична основа методу квадратного кореня для вирішення лінійних систем
Нехай дана симетрична система лінійних рівнянь в матричному вигляді (2.2.1): Ах = b
До ee рішенням може бути застосована ідея розкладання матриці А в добуток двох матриць спеціального виду. Підставою для цього служить наступна теорема [3]:
Теорема. Яка б не була матриця А з відмінними від нуля глав вими минорами:
, ...,
її завжди можна розкласти в добуток двох трикутних матриць: = BC,
де В - ліва трикутна матриця:
В =
З - права трикутна матриця:
З =
Так як дана матриця (2.2.1) симетрична, то вона розкладається на добуток двох взаємно транспонованих трикутних матриць [1,2,3]:
