tify"> - коваріаційна матриця процесу w
Також в кожен момент часу ми можемо отримувати вимірювання. Вектор вимірювань пов'язаний з вектором станів наступним рівнянням
(2)
де: - вектор вимірювань розмірності m
матриця, що характеризує зв'язок вектора станів з вектором вимірювань.
v - випадковий вектор помилки розмірності m, що характеризує помилку вимірювань.
- коваріаційна матриця випадкового процесу помилки вимірювань.
- коваріаційна матриця залежності процесів w і v
Рівняння (1) видають якийсь фізичний процес, а вектор є вимірювання, які ми можемо зробити-якими приладами. Рівняння (2) показують зв'язок вектора станів з вектором вимірювань. Матриця B може бути ненульовий тільки у випадку, коли процесом керують з боку. У загальному випадку рівняння можуть бути нелінійними, проте алгоритм Калмана увазі, що ми завжди їх можемо линеаризовать.
Визначення 2 Алгоритмом Калмана називається наступний двох кроковий алгоритм обчислення стану динамічний системи (1), (2):
Перший крок - пророкування (предікція, екстраполяція)
Другий крок - корекція:
2.2 Властивості умовних ймовірностей
Хай є дві векторні випадкові величини порядку n і m відповідно.
Нехай далі у них є спільна щільність розподілу ймовірностей де x і y - аргументи функції щільності, що представляють собою вектори тієї ж розмірності, що і.
Умовною щільністю розподілу випадкової величини за умови, що реалізація вектора, буде функція
.
Умовним математичним очікуванням випадкового вектора за умови називаються перші моменти від умовної щільності розподілу
=,
де представляє собою скорочене позначення n-кратного інтеграла.
З певних вище виразів випливає відома формула для умовних математичних сподівань
Яка виходить з наступного ланцюжка рівностей:
Другі центральні моменти від функції умовної щільності розподілу утворюють ковариационную матрицю умовного розподілу
.
Розглянемо тепер таку задачу. По реалізації випадкового вектора потрібно побудувати оцінки для елементів невідомого для спостерігача випадкового вектора. При цьому оцінки представляють собою фукции від аргументу, повинні задовольняти умові мінімуму дисперсії для похибки оцінювання
Мінімум в останньому співвідношенні береться по всіх всіляким видам функції Доведемо, що функцією на якій реалізується мінімум, буде умовне математичне сподівання
Доказ?? Ледует з ланцюжка рівностей
=,
Де, позитивна і не залежить від вибору функції величина.
Вираз досягає свого мінімуму при.
Отже, оцінка, оптимальна в сенсі найменшою дисперсії, збігається з умовним математичним очікуванням.
