ao, a1 - параметри рівняння, t - час;
· показова функція - Уt=ao * a1;
· ступенева функція - крива другого порядку (парабола) -
Уt=ao + a1t + a2t
Розрахунок параметрів функції зазвичай проводиться методом найменших квадратів, в якому в якості рішення приймається точка мінімуму суми квадратів відхилень між теоретичними і емпіричними рівнями:
(Уt - Уi) min,
де Уt - вирівняні (розрахункові) рівні; Уi - фактичні рівні.
Параметри рівняння а, задовольняють цій умові, можуть бути знайдені рішенням системи нормальних рівнянь. На основі знайденого рівняння тренда обчислюються вирівняні рівні ряду.
Таким чином, вирівнювання ряду динаміки полягає в заміні фактичних рівнів Уi плавно змінюються рівнями Уt, найкращим чином апроксимуючими статистичні дані.
Розглянемо застосування аналітичного вирівнювання на підставі вихідних даних таблиці 8.
Таблиця 9
Вирівнювання по прямій ряду динаміки зростання (спадання) рівня ВВП на душу населення в Північно-Західному ФО РФ за 2005-2012 р
ГодиВВп на душу населення (тис. рублів). Уit t? ytТеоретіческій рівень, УtУi - Уt (Уi - Уt)? 2005130,8-749-915,6131,02-0,220,0492006160,6-525-803164,92-4,3218,662007202,9-39-608,7198,824,0816,652008248,8-11-248,8232,7216,08258,572009251,111251,1266,62-15,52240,872010289,639868,8300,52-10,92119,252011345,35251726,5334,4210,88118,372012368,37492578,1368,32-0,020,004Итого1997,401682848,41997,40772,42
Вирівнювання даного динамічного ряду зробимо по рівнянню прямої лінії:
Уt=ao + a1t
У нашому прикладі n=8.
Параметри ao, a1 згідно методу найменших квадратів знаходять рішенням наступної системи нормальних рівнянь:
у=nao + a1? t
уt=aot + a1? t?
Для спрощення знаходження параметрів рівняння при збереженні повної ідентичності кінцевих результатів введемо позначення дат або періодів часу з натуральним числом (t), з тим, щоб t=0.
Так як? t=0 (ми припускаємо), то система нормальних рівнянь прийме вигляд:
? у=nao
? уt=a1? t?
Звідси:
ao =? y/n, ao=1997,4/8=249,67
a1 =? уt /? t? , A1=2848,4/168=16,95
Рівняння прямої, що представляє собою трендовую модель шуканої функції, буде мати вигляд:
Уt=249,67 + 16,95 * t
Підставивши в дане рівняння послідовно значення t, рівні - 7, - 5, - 3, - 1, +1, +3, +5, +7, знаходимо вирівняні рівні Уt.
Підставивши в це рівняння значення t, отримаємо вирівняні теоретичні значення У:
У2005=249,67 + 16,95 * (- 7)
У2006=249,67 + 16,95 * (- 5) і т.д.
Якщо розрахунки виконані правильно, то Уi=Уt.
У нашому прикладі Уi=Уt=1997,4. Отже, значення рівнів вирівняного ряду знайдені вірно.
Отримане рівняння показує, що, незважаючи на значні коливання в окремі роки (2009), спостерігається тенденція збільшення зростання ВВП на душу населення в Північно-Західному ФО РФ з 2005 по 2012 рік, тобто становив на рік у середньому а1=16,95 тис. рублів на рік.
Фактичні та розрахункові значення представлені у вигляді графіка (Рис.1)
Рис. 1. Динаміка збільшення ВВП на душу населення в Північно-Західному ФО РФ за 2005-2012 роки
100 Кількість осіб, млн. чол. 90 80 70 60 50 40 30 20 жовтня 0 2003200420052006200720082009201020112012Годи
Поєднавши точки, побудовані за фактичними даними, отримаємо ламану лінію, на підставі якої скрутно винести судження про характер загальної тенденції динаміки в зміні досліджуваного процесу.
Тенденція збільшення зростання ВВП в Північно-Західному ФО РФ в досліджуваному періоді чітко проявляється в результаті побудови вирівняною прямий (спостерігається неухильне зростання):
Уt=249,67 + 16,95 * t
Виявлення та характеристика трендів створюють базу для прогнозування, тобто для визначення орієнтовних розмірів явищ у майбутньому. Для цього використовують метод екстраполяції.
Під екстраполяцією розуміють знаходження рівнів за межами досліджуваного ряду, тобто продовження в май...
