сильности має при зазначених підходах значні відмінності.
У зв'язку з даним питанням у вивченні матеріалу лінії рівнянь і нерівностей можна виділити три основні етапи. Перший етап охоплює початковий курс шкільної математики і початок курсу алгебри. Тут відбувається ознайомлення з різними способами вирішення окремих, найбільш простих класів рівнянь. Використовувані при цьому перетворення отримують індуктивне обгрунтування при розгляді конкретних прикладів. У міру накопичення досвіду індуктивні міркування все частіше замінюються такими, де равносильность фактично використовується, але сам термін не вживається. Тривалість цього етапу може бути різною; вона залежить від методичних установок, прийнятих у даному навчальному посібнику.
На другому етапі відбувається виділення поняття равносильности і зіставлення його теоретичного змісту з правилами перетворень, які виводяться на його основі. Тривалість цього етапу незначна, оскільки на ньому відбувається тільки виділення цього поняття і його використання на декількох теоретичних прикладах.
На третьому етапі на основі загального поняття равносильности відбувається розгортання і загальної теорії, та теорії окремих класів рівнянь. Такий стиль характерний для курсу алгебри і початків аналізу, що вивчається в старших класах середньої школи. Він застосовується і в деяких посібниках з алгебри для неповної середньої школи.
Крім рівносильних, до вивчення матеріалу лінії рівнянь застосовуються і інші, взагалі кажучи, не рівносильні перетворення. Велика частина з них в шкільному курсі не виявляється, хоча вони більш-менш істотно використовуються, зокрема, при вивченні рівнянь. Єдиним винятком служить поняття логічного слідування, яке в ряді навчальних посібників є предметом вивчення. Методика роботи з поняттям логічного слідування (а також з уявленням про нього у випадку, якщо поняття не вводиться) має багато спільних рис з методикою вивчення равносильности і рівносильних перетворень.
Логічне слідування починає застосовуватися значно пізніше равносильности і освоюється як деякого доповнення до нього. При вирішенні рівнянь за інших рівних умов перевага віддається рівносильному перетворенню; логічне проходження застосовується лише тоді, коли відповідного рівносильного перетворення знайти не вдається. Це, однак, не означає, що використання логічного слідування - вимушена міра. Нерідко в практиці роботи вчителів логічне проходження застосовується як прийом, що спрощує процес вирішення, якщо збереження равносильности може бути досягнуто порівняно дорогою ціною.
Серед нерівносильні перетворень є перетворення, які не є логічним проходженням. Наприклад, перехід до розгляду окремого випадку (приклад: перехід від рівняння а -b=0 до розгляду рівняння а=0). Такі переходи можна розглядати як практичні прийоми, що дозволяють зосередити увагу на окремих кроках процесу рішення рівняння.
Про класифікацію перетворень рівнянь та їх систем.
Можна виділити три основних типи таких перетворень:
) Перетворення однієї з частин рівняння.
) Узгоджене перетворення обох частин рівняння.
) Перетворення логічної структури.
Перетворення другого типу порівняно численні. Вони складають ядро ??матеріалу, що вивчається в лінії рівнянь.
Наведемо приклади перетворень цього типу.
) - Додаток до обох частин рівняння одного і того ж вираження.
) Множення (ділення) обох частин рівняння на одне і те ж вираз.
) Перехід від рівняння a=b до рівняння | (a)=| (b), де | - деяка функція, або зворотний перехід.
До третього типу перетворень відносяться перетворення рівнянь, та їх систем, що змінюють логічну структуру завдань. Пояснимо використаний термін «логічна структура». У кожному завданні можна виділити елементарні предикати - окремі рівняння. Під логічною структурою завдання ми розуміємо спосіб зв'язку цих елементарних предикатів допомогою логічних зв'язок кон'юнкції або диз'юнкції.
Залежно від засобів, які використовуються при перетвореннях, в цьому типі можна виділити два підтипи: перетворення, здійснювані за допомогою арифметичних операцій і за допомогою логічних операцій. Перші можна назвати арифметичними перетвореннями логічної структури, другі - логічними перетвореннями логічної структури.
Вивчення і використання перетворень рівнянь та їх систем, з одного боку, припускають досить високу логічну культуру учнів, а з іншого боку, в процесі вивчення та застосування таких перетворень є широкі можливості для формування логічної культури. Велике значення має з'ясування питань, що відносяться до характеризації вироблених...
