перетворень: чи є вони рівносильними чи логічним проходженням, чи потрібне розгляд декількох випадків, чи потрібна перевірка? Складнощі, які доводиться тут долати, пов'язані з тим, що далеко не завжди можливо привести характеризацію одного і того ж перетворення однозначно: у деяких випадках воно може виявитися, наприклад, рівносильним, в інших равносильность буде порушена.
У підсумку вивчення матеріалу лінії рівнянь учні повинні не тільки оволодіти застосуванням алгоритмічних приписів до вирішення конкретних завдань, а й навчитися використовувати логічні засоби для обгрунтування рішень у випадках, коли це необхідно.
. Логічні обгрунтування при вивченні рівнянь
При вивченні матеріалу лінії рівнянь значна увага приділяється питанням обгрунтування процесу вирішення конкретних завдань. На початкових етапах вивчення курсу алгебри і в курсі математики попередніх класів ці обгрунтування мають емпіричний, індуктивний характер. У міру накопичення досвіду вирішення рівнянь, систем різних класів все більшу роль набувають загальні властивості перетворень. Нарешті, досягнутий рівень володіння різними способами вирішення дозволяє виділити найбільш часто використовувані перетворення (равносильность і логічне проходження). Навчальні посібники з алгебри мають суттєві відмінності у ставленні описаних способів обгрунтування. Проте виділяються всі зазначені напрями, причому в загальній для них послідовності. Коротко розглянемо кожне з цих напрямків.
Емпіричне обгрунтування процесу рішення. Таким способом описуються прийоми вирішення перших досліджуваних класів рівнянь. Зокрема, це характерно для рівнянь 1-го ступеня з одним невідомим. Методика вивчення цих рівнянь полягає в пред'явленні алгоритму вирішення таких рівнянь і розборі декількох типових прикладів. Зазначений алгоритм формується, природно, далеко не відразу. Перед цим розбирається кілька прикладів, причому мета розгляду полягає у виділенні в послідовності дій потрібних для опису алгоритму операцій. Пояснення вчителя можуть бути такими: «Потрібно вирішити рівняння 5x + 4=3x + 10. Постараємося всі члени, що містять невідоме, зібрати в одній частині, а всі члени, що не містять невідоме, - в іншій частині рівняння. Додамо до обох частин рівняння число (- 4), дане рівняння прийме вигляд 5х=3x + 10-4. Тепер додамо до обох частин рівняння (- 3х), одержимо рівняння 5х - 3x=10-4. Наведемо подібні члени в лівій частині рівняння, а в правій обчислимо значення виразу; рівняння прийме вид 2х=6. Розділимо обидві частини рівняння на 2, отримаємо х=3 ». Ця розповідь супроводжується послідовно виникає на дошці записом перетворень:
5х + 4=3х + 10
х=3х + 10-4
х - 3х=10-4
Аналізуючи рішення, вчитель може прийти до правил рішення рівнянь 1-го ступеня з жодним невідомим. Звернемо увагу на деякі формальні прогалини цього викладу. Перш за все, в такій розповіді не акцентується увага на тому, що під дією перетворень рівняння перетвориться в деяке нове рівняння. Учні як би мають справу весь час з тим же рівнянням. Якби упор робився безпосередньо на перехід від одного рівняння до іншого, то це вимагало б більш уважного аналізу уявлень, пов'язаних з рівносильно, що якраз не характерно для перших етапів навчання алгебри.
Далі, питання про те, чи всі корені рівняння знайдені, тут не ставиться. Якщо навіть він і виникає по ходу обговорення процесу рішення, то відповідь на нього, як правило, не дається. Основну роль відіграють дії по перенесенню членів з однієї частини рівняння в іншу, угруповання подібних членів.
Таким чином, питання обгрунтування рішення рівняння стоять на другому плані, а на першому - формування міцних навичок перетворень. Звідси можна зробити висновок: на цьому етапі перевірка знайденого кореня служить необхідною частиною обгрунтування правильності рішення.
Зовні відмінність між двома способами обгрунтування (крім того, що в першому використовується термін «безліч») виявляється в тому, що в першому з них користуються властивостями рівностей зі змінними, а в другому - властивостями числових рівностей. Складність навчання будь-якому з цих способів приблизно однакова.
Перехід до дедуктивного обґрунтуванню може проводитися на різному матеріалі. Наприклад це можна зробити при вивченні лінійного рівняння з двома змінними, системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими, лінійного рівняння з одним невідомим. Необхідно, однак, відзначити, що, яким би не був спосіб обгрунтування, він не є самоціллю в курсі шкільної математики. Мета вивчення обгрунтувань полягає в забезпеченні усвідомленості процесу рішення. Після того як вона досягнута, подальше використання вже обґрунтованого прийому призводить до формування досвіду, яким учні кори...
