верт дешевше листівки на 70 сумку. Знайти вартість листівки ». Перехід до визначення рівняння здійснюється на основі аналізу деяких формальних особливостей записи .х + (х- - 70)=170, що виражає зміст даного завдання в алгебраїчній формі. За допомогою цього ж сюжету вводиться і поняття кореня рівняння. Ось ці визначення: «Рівність, що містить невідоме число, позначене буквою, називається рівнянням. Коренем рівняння називається те значення невідомого, при якому це рівняння звертається у вірне рівність ». Зазначений спосіб введення поняття рівняння відповідає ще одному компоненту поняття рівняння - прикладному.
Ще один підхід до визначення поняття рівняння виходить при зіставленні області визначення рівняння і безлічі його коренів. Зазвичай безліч коренів рівняння - власне підмножина його області визначення. З іншого боку, при рішенні рівнянь доводиться використовувати перетворення, які спираються на тотожності, т. Е. На рівності, істинні на всій області визначення. Виділене тут протиставлення тотожності і рівняння може бути покладено в основу визначення рівняння: «Літерне рівність, яке не обов'язково перетворюється на вірне чисельну рівність при допустимих наборах букв, називається рівнянням»
Формування поняття рівняння вимагає використання ще одного терміна: «вирішити рівняння». Різні варіанти його визначення відрізняються один від одного, по суті, тільки наявністю або відсутністю в них терміну «безліч».
Таким чином, при освоєнні поняття рівняння необхідно використовувати терміни «рівняння», «корінь рівняння», «що означає вирішити рівняння». При цьому поряд з компонентами поняття рівняння, що входять в текст визначення, треба включати і всі інші його компоненти в міру розгортання матеріалу даної лінії.
У визначенні поняття рівняння використовується один з двох термінів: «змінна» або «невідоме». Різниця між ними полягає в тому, що змінна пробігає ряд значень, не виділяючи жодного з них спеціально, а невідоме являє собою буквене позначення конкретного числа (тому цим терміном зручно користуватися при складанні рівнянь по текстовим завданням). Питання, пов'язані з вибором однієї їх цих термінів для використання в шкільній практиці, в даний час ще не можна вважати остаточно вирішеними. Вибір того чи іншого з них тягне певні відмінності в розгортанні змісту лінії рівнянь і нерівностей. Так, з терміном «змінна» пов'язана операція підстановки числа замість букви, тому в рівняння а (х)=b (х) можна підставляти замість х конкретні числа і знаходити серед них коріння. Термін же «невідоме» позначає фіксоване число; підставляти число на місце букви, що позначає невідоме, тому нелогічно. Знаходження коренів рівняння а (х)=b (х) з цієї точки зору повинно здійснюватись за допомогою дій, при яких це рівність розглядають як вірне і намагаються привести його до виду х=х, де х - числове вираження.
При описі методики ми будемо користуватися терміном «невідоме», який ближче, ніж «змінна», пов'язаний з алгебраїчним методом рішення текстових завдань і тим самим з прикладною спрямованістю лінії рівнянь і нерівностей.
. Равносильность і логічне проходження.
Розглянемо логічні засоби, що використовуються в процесі вивчення рівнянь і нерівностей. Найбільш важливим серед них є поняття равносильности.
Нагадаємо, що рівняння називаються рівносильними, якщо рівносильні відповідні предикати, т. е. якщо виконані умови: області визначення рівнянь однакові і безлічі їх коренів рівні. Є два шляхи встановлення равносильности рівнянь. Перший: використовуючи відомі безлічі коренів рівнянь, переконатися в їх збігу. Другий: використовуючи особливості запису рівнянь, здійснити послідовний перехід від одного запису до іншого за допомогою перетворень, що не порушують равносильности.
Очевидно, що для більшості завдань другий шлях більш характерний. Це й зрозуміло, адже равносильность в теорії рівнянь якраз і використовується для того, щоб вказати конкретні правила для вирішення рівнянь. Однак у викладанні обмежуватися їм недоцільно, оскільки він відноситься тільки до практичного застосування равносильности і вимагає першим для свого обгрунтування. Разом з тим засвоєння поняття равносильности як равносильности предикатів вимагає значної культури мислення і не може бути засвоєно на початкових етапах вивчення шкільного курсу алгебри без спеціальних значних зусиль.
У відношенні формування поняття равносильности і його застосування до рішення рівнянь навчальні посібники з алгебри можна розділити на дві групи. До першої належать ті посібники, в яких використання рівносильних перетворень засноване на явному введенні та вивченні поняття равносильности; до другої - ті, в яких застосування рівносильних перетворень передує виділенню самого поняття. Методика роботи над поняттям равно...
