дом Гаусса складається з двох етапів: прямий хід методу і зворотний хід. На першому етапі (прямий хід) система приводиться до трикутного вигляду, на другому етапі (зворотний хід) йде послідовне визначення невідомих з цієї трикутної системи.
Нехай дана система лінійних алгебраїчних рівнянь п - го порядку.
Будемо вважати, що коефіцієнт, який називають провідним елементом першого кроку, відмінний від нуля (у разі, якщо=0, потрібно поміняти місцями перше рівняння з i-тим рівнянням, в якому 0). Розділимо тепер почленно перше рівняння системи на коефіцієнт. Введемо множники:
Додамо тепер до кожного i- того рівнянню системи перше рівняння, помножене на m i1. Виконавши цю операцію, ми виключимо невідоме x 1, з усіх рівнянь, починаючи з другого. Перетворена система прийме вигляд:
Тут індекс (1) означає нові значення коефіцієнтів і правих частин, які виходять після виконання першого кроку прямого ходу методу Гаусса.
Переходячи, до виконання другого кроку прямого ходу методу Гаусса припустимо, що елемент, який називають провідним елементом другого кроку, не дорівнює нулю. Розділимо друге рівняння на коефіцієнт. Введемо множники:
Додамо до i-тому рівнянню системи (3), друге рівняння, помножене на т i2, в результаті виключимо невідоме x 2 з усіх рівнянь, крім перших двох.
Провівши далі аналогічні перетворення, після n-го кроку прийдемо до трикутної системі виду:
Другий етап - зворотний хід методу Гаусса реалізується наступним чином. З останнього рівняння системи (4) визначаємо х n. По знайденому значенню х n з n-го рівняння визначаємо невідоме x (n - 1). Потім за значеннями х n і x (n - 1) з (n - 2) - го рівняння знаходимо x (n - 2) і т.д.
Послідовне обчислення невідомих продовжується до тих пір, поки з першого рівняння системи (4) не визначимо. На цьому процес вирішення закінчується.
. 2 Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь в системі MATLAB
Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом
Жордана-Гаусса
Метод Жордана - Гаусса є однією з модифікацій методу Гаусса, в якому матриця коефіцієнтів при невідомих послідовно наводиться до одиничної матриці, а на місці шпальти вільних членів у розширеній матриці в результаті розташовується рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
Сутність цього методу полягає в тому, що, починаючи з другого кроку, зануляются всі елементи у відповідному стовпці, крім елемента, що стоїть на головній діагоналі. Це досягається за допомогою алгебраїчних перетворень аналогічних класичному методу Гаусса. Якщо є система лінійних алгебраїчних рівнянь n-го порядку, то на кожному кроці прямого ходу методу Гаусса в кожному стовпці матриці коефіцієнтів зануляется рівно (n - 1) коефіцієнт.
Стандартної функцією, яка реалізує метод Жордана-Гаусса в системі MATLAB, є функція rref (). Аргументом у цієї функції є розширена матриця коефіцієнтів.
Для вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою MATLAB можна застосовувати оператор «», який самостійно вибирає кращий метод для вирішення заданої системи рівнянь. При цьому рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь будь-якого порядку досягається однією командою:
»Х=(А В)
4. Наближені методи розв'язування нелінійних алгебраїчних рівнянь
Необхідність відшукання коренів характеристичного рівняння завжди виникає при розрахунку перехідного процесу в лінійних електричних ланцюгах. У загальному випадку характеристичне рівняння може бути як завгодно високого порядку. Значення, які можуть брати корені характеристичного рівняння дають уявлення про характер перехідного процесу і в загальному випадку можуть приймати комплексні значення.
Алгебраїчне рівняння m - іншої ступеня задається в наступному вигляді:
а 0 х т + а 1 x (m - 1) + .... + А т=0
Відносно невелика кількість завдань відшукання коренів нелінійних алгебраїчних рівнянь можна вирішити аналітично, на практиці майже завжди доводиться знаходити рішення рівнянь за допомогою чисельних методів.
Наближене рішення нелінійних алгебраїчних рівнянь складається з двох етапів:
етап відділення коренів
етап уточнення коренів
Нехай потрібно знайти корені рівняння f (x)=0. Етап відділення коренів цього рівняння полягає в знаходженні всіх інтервалів в області визначення функції f (x), на кінц...
