ях яких функція змінює знак. Кількість інтервалів визначається за кількістю коренів. Не існує універсального методу, що дозволяє відокремити всі корені нелінійного алгебраїчного рівняння. В якості можливих способів відділення коренів можуть бути запропоновані наступні способи.
· Графічний спосіб. Наближено будується графік функції f (x) і за графіком визначаються інтервали на осі Ох, на яких функція f (x) змінює знаки.
· Табличний спосіб. Будується таблиця, що складається з двох рядків, в першому рядку з якимось довільним кроком змінюється значення аргументу х, бажано на відрізку симетричному відносно 0. У другому рядку обчислюються відповідні значення функції f (x). Якщо в сусідніх осередках другого рядка функція змінює знак (причому неважливо з + на - або з - на +), то вважається що на цьому інтервалі знаходиться хоча б один корінь.
· Спосіб знаходження верхніх і нижніх меж позитивних і негативних коренів.
. 1 Метод ділення відрізка навпіл
Після відділення коренів можна уточнити його одним з методів послідовних наближень. Одним з таких методів є метод поділу відрізка навпіл. Цей метод є найбільш простим надійним методом уточнення кореня на відрізку [а, b] в тому випадку, коли функція f (x) з рівняння f (x)=0 є безперервною функцією і приймає на кінцях відрізка [а, b] значення різних знаків , тобто f (a) -f (b) lt; 0.
Очевидно, що середина відрізка [а, b] служить наближенням до шуканого кореню рівняння. Позначимо середину відрізка [a, b] точкою x1 =.
У цій точці визначається знак функції f (x), потім вибирається та половина відрізка, на кінцях якої функція f (x) приймає значення різних знаків і ділення повторюється по тому ж самому алгоритму. Якщо потрібно знайти корінь з точністю д, то поділ відрізка навпіл продовжується до тих пір, поки довжина останнього відрізка містить корінь не стане менше величини 2? Д. Тоді середина останнього відрізка дасть значення кореня з необхідною точністю. У цьому методі годі й обчислювати саме значення функції f {x), достатньо лише визначити знак значення функції. Позначимо похибка на п кроці через, де x * - точне значення кореня, тоді похибки на n- тому і (n + 1) кроці пов'язані нерівністю, де n=1,2, .., що дозволяє віднести метод поділу відрізка навпіл до методів , які мають лінійну швидкість збіжності.
. 2 Метод Ньютона
Метод Ньютона застосовується до рішення рівняння, коли функція f (x) є безперервно диференціюється функцією. Також спочатку відділимо корінь рівняння на відрізку [а, b].
Для початку обчислень потрібно завдання одного початкового наближення x 0 всередині відрізка [а, b]. Перше наближення обчислюється через це початкове за формулою:
Загальна формула методу Ньютона може бути записана за допомогою рекурентного співвідношення:
де n=0,1, ... і f '(xn)? 0.
Кожне наступне наближення обчислюється через попереднє. Геометрично точка х n + 1 є значенням абсциси точки перетину дотичної до кривої y=f (x) в точці (х n,) з віссю абсцис, тому часто метод Ньютона називають також методом дотичних.
На практиці можна зустрінься з випадком збіжності методу Ньютона, коли х 0 далеко від шуканого кореня, так і з випадком расходимости методу для х 0 - близьких до кореня. Можливий також випадок зациклення методу. Часто при невдалому виборі початкового наближення х 0 немає монотонного убування послідовності | f (xn) |. У такому випадку обчислення можна проводити за модифікованим методом Ньютона:
n=1,2, ..,
а співмножники 0 lt; а n lt; 1 вибираються так, щоб виконувалася нерівність
співмножники 0 lt; а n lt; 1 стискають відображення. Рекомендується завжди вибирати досить тісні кордону кореня [а, b], і в якості початкового наближення х 0 вибирати таку точку відрізка [а, b], де знаки функції f (x 0) і її кривизни f" (x 0) збігаються.
Умовою виходу з ітераційного процесу за методом Ньютона є виконання нерівності
. 3 Метод простої ітерації
Метод простої ітерації застосовується до рішення рівняння з виділеним значенням невідомого в правій частині х=ц (х) і полягає в побудові послідовності {х n}, починаючи з деякого початкового значення х 0 за правилом
n=0,1, ...
Якщо ц (х п) - безперервна функція, а {xn} - сходящаяся послідовність, то значення х *=lim х п є коренем рівняння.
Умовою збіжності процесу ітерацій, тобто умова існування межі, тобто до...
