жна комбінувати теорію матриць і метод Рунге-Кутта.
10 Метод половини констант
Цей метод поки не обраховано на комп'ютерах.
Вище було показано, що рішення системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь можна шукати у вигляді тільки з половиною можливих векторів і констант. Була наведена формула для початку обчислень:
Y (0) = М в€™ з + в€™. br/>
З теорії матриць відомо, що якщо матриця ортонормированного, то її зворотна матриця є її транспонована матриця. Тоді остання формула набуває вид:
Y (0) = М в€™ з + U в€™ u
або p> Y (0) = U в€™ u + М в€™ з
або p> Y (0) = в€™,
Таким чином записана в матричному вигляді формула для початку рахунки з лівого краю, коли на лівому краї задоволені крайові умови.
Далі запишемо V в€™ Y (1) = v і Y (1) = K (1 в†ђ 0) в€™ Y (0) + Y * (1 в†ђ 0) спільно:
V в€™ [K (1 в†ђ 0) в€™ Y (0) + Y * (1 в†ђ 0)] = v
V в€™ K (1 в†ђ 0) в€™ Y (0) = v - V в€™ Y * (1 в†ђ 0)
і підставимо в цю формулу вираз для Y (0):
V в€™ K (1 в†ђ 0) в€™ в€™ = v - V в€™ Y * (1 в†ђ 0).
V в€™ K (1 в†ђ 0) в€™ в€™ = p.
Таким чином ми отримали вираз виду:
D в€™ = p,
де матриця D має розмірність 4х8 і може бути природно представлена ​​у вигляді двох квадратних блоків розмірності 4х4:
в€™ = p.
Тоді можемо записати:
D1 в€™ u + D2 в€™ c = p.
Звідси отримуємо, що:
c = D2 в€™ ( p - D1 в€™ u)
Таким чином, шукані константи знайдені.
Далі показано як застосовувати цей метод для вирішення В«жорсткихВ» крайових задач.
Запишемо
V в€™ K (1 в†ђ 0) в€™ в€™ = p.
спільно з K (1 в†ђ 0) = K (1 в†ђ x2) в€™ K (x2 в†ђ x1) в€™ K (x1 в†ђ 0) і отримаємо:
V в€™ K (1 в†ђ x2) в€™ K (x2 в†ђ x1) в€™ K (x1 в†ђ 0) в€™ в€™ = p. br/>
Цю систему лінійних алгебраїчних рівнянь можна представити у вигляді:
[V в€™ K (1 в†ђ x2)] в€™ {K (x2 в†ђ x1) в€™ K (x1 в†ђ 0) в€™ в€™} = p. p> [матриця ] в€™ {вектор} = Вектор
Цю групу лінійних алгебраїчних рівнянь можна піддати прогресивним ортонормірованію, яке зробить строчки [матриці] ортонормированного, {Вектор} торкнуться не буде, а вектор отримає перетворення. Тобто отримаємо:
[V в€™ K (1 в†ђ x2)] {K (x2 в†ђ x1) в€™ K (x1 в†ђ 0) в€™} = p. br/>
І так далі. p> У підсумку почергового вичленення матриць ліворуч з вектора і ортонормірованія отримаємо систему:
D в€™ = p,
Звідси отримуємо, що:
c = D2 в€™ (p - D1 в€™ u)
Таким чином, шукані константи знайдені.
11 Застосовувані формули ортонормірованія
Ці формули обраховані в кандидатській дисертації.
Взято з: Березін І.С., Жидков Н.П. Методи обчислень, том II, Державне видавництво фізико-математичної ської літератури, Москва, 1962 635 стор
Нехай дана система лінійних алгебраїчних рівнянь порядку n:
А =.
Тут над векторами поставимо рисочки замість їх позначення жирним шрифтом.
Будемо розглядати рядки матриці А системи як вектори:
= (,, ...,).
Ортонорміруем цю систему векторів.
Перше рівняння системи А = ділимо на.
При цьому отримаємо:
+ + ... + =, = (,, ...,),
де =, =, = 1. br/>
Друге рівняння системи замінюється на:
+ + ... + =, = (,, ...,),
де =, =, br/>
= - (,), = - (,).
Аналогічно чинимо далі. Рівняння з номером i прийме вигляд:
+ + ... + =, = (,, ...,),
де =, =, p> = - (,) - (,) - ... - (,), p> = - (,) - (,) - ... - (,).
Процес буде здійснимо, якщо система лінійних алгебраїчних рівнянь лінійно незалежна.
У результаті ми прийдемо до нової системи С =, де матриця С буде з ортонормированного рядками, тобто має властивість С * С = E, де Е - Це одинична матриця. p> (Таким чином, рішення системи можна записати у вигляді = С.)
В
12 Висновок формул, запозичений з В«Теорії матрицьВ» Гантмахер
Система лінійних звичайних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами має вигляд:
Y (x) = A Y (x) + F (x). (1)
Розкладемо Y (x) в ряд Маклорена за ступенями x:
Y (x) = Y + Yx + Yx/2! + ..., Де Y = Y (0), Y = Y (0), ... (2). br/>
З (1) почленно диференціюванням при А = const і F (x) = 0 отримаємо:
Y = AY = AY, Y = AY = AY, (3)
Поклавши в (3) x = 0 і підставивши в (2) отримаємо:
Y (x) = Y + Ax Y + A x/2! Y + ... = e Y, (4)
де e = E + Ax + A x/2! + ..., Де Е - одинична матриця. (5)
Якщо прийняти x = x, то (4) заміниться на
Y (x) = e Y (x), (6)
