Реферат Методи розв'язання крайових задач, в тому числі "жорстких" крайових задач

Тема: Учебные пособия

> Розглянемо випадок A = const і F в‰ 0.

Введемо в розгляд вектор-функцію Ya (x) у вигляді: Y (x) = eYa (x). (7)

Продіффренціруем (7) і підставимо в (1). Отримаємо:

eYa (x) = F (x). (8)

При отриманні (8) враховувалося, що:

== A + A x + A x/2! + ... = A e. br/>

З (8) випливає, що:

Ya (x) = c +. (9)

Підставами в (7) і отримуємо:

Y (x) = Ec + e. (10)

Поклавши x = x в (10) отримаємо:

c = e Y (x). (11)

Остаточно отримуємо:

Y (x) = E Y (x) + e. (12)

Мій батько запропонував використовувати й іншу (набагато більш ефективну за часом рахунку) матричну формулу замість матричної експоненти - щось на основі Вольтерра. Це є в статті в журналі В«Математичне моделюванняВ»:

Чисельний метод перенесення крайових умов для жорстких диференціальних рівнянь будівельної механіки Журнал "ММ", Том: 14 (2002), Номер: 9, 3 стор 1409-003r.pdf

Я тут якось днями поговорив з батьком і ось що цікаве щодо методу з'ясувалося. p> Коли я сам вирішував своїм методом В«перенесення крайових умовВ» В«жорсткіВ» крайові задачі, то я в кожній розглянутій точці x = x * вирішував відповідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження рішення Y (x *) у кожній розглянутій точці x = x *. p> А мій батько стверджує, що В«жорсткимиВ» бувають тільки крайові задачі, а початкові завдання В«жорсткимиВ» не буває. І тому він знаходив рішення Y (x *) в якійсь одній точці x = x * за моїм методом, а далі вирішував (вліво і вправо від розглянутої точки x = x *) як задачу Коші (від знайдених початкових умов Y (x *) у цій одній точці): Y (x) = K (х в†ђ x *) В· Y (x *) + Y * (x в†ђ x *). І якщо це так, то так вирішувати, природно, набагато швидше, так як треба тільки домножать на матрицю Коші (матріціант, матричну експоненту) замість вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Я думаю, що це дуже істотне уточнення по швидкості рахунку.

P.P.P.S. Метод рішення В«ЖорсткихВ» початкових завдань, тобто В«жорсткихВ» завдань Коші. Придуманий ввечері 16 січня 2008 року. p> Метод перенесення крайових умов працює успішно. Отже, за аналогією можна намагатися вирішувати В«жорсткіВ» початкові завдання, тобто В«жорсткіВ» задачі Коші.

Нехай дана початкова задача:

Y (x) = A В· Y (x), Y (0) = Yнач,

Можемо записати:

Y (0) = K (0 в†ђ x) В· Y (x),

K (0 в†ђ x) В· Y (x) = Yнач

K (0 в†ђ x3) В· K (x3 в†ђ x2) В· K (x2 в†ђ x) В· Y (x) = Yнач

[K (0 в†ђ x3)] В· {K (x3 в†ђ x2) В· K (x2 в†ђ x) В· Y (x)} = Yнач

[ матриця] {вектор} вектор

Виконуємо порядкове ортонормірованіе цієї системи лінійних алгебраїчних рівнянь з квадратною матрицею коефіцієнтів і отримуємо систему з ортонормированного рядками в квадратній матриці:

[ K (0 в†ђ x3)] орт В· {K (x3 в†ђ x2) В· K (x2 в†ђ x) В· Y (x)} = Yнач_орт

Аналогічно записуємо

[[ K (0 в†ђ x3)] орт В· K (x3 в†ђ x2)] В· {K (x2 в†ђ x) В· Y (x)} = Yнач

[ матриця] {вектор} вектор

Далі виконуємо порядкове ортонормірованіе і отримуємо:

[[ K (0 в†ђ x3)] орт В· K (x3 в†ђ x2)] орт В· {K (x2 в†ђ x) В· Y (x)} = Yнач_2орт

Аналогічно отримуємо

[[ K (0 в†ђ x3)] орт В· K (x3 в†ђ x2)] орт В· K (x2 в†ђ x)] орт В· Y (x) = Yнач_3орт

Те тобто отримали підсумкову систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження вектора Y (x). Для цього вектор Yнач_3орт треба домножити ліворуч на матрицю транспоновану по відношенню до лівої ортонормованій матриці, тому що якщо матриця ортонормірованна, то зворотна їй є транспонована матриця.

P.P.P.P.S. 11 вересня 2009:

Довго було лінь записувати, але раптом хтось сам не відразу здогадається - ще один метод рішення В«жорсткихВ» початкових завдань, тобто В«жорсткихВ» завдань Коші. Хоча у мене є така підозра, що В«жорсткимиВ» бувають тільки крайові задачі, а початкові завдання В«жорсткимиВ» НЕ бувають. Але про всяк випадок наведу метод рішення В«ЖорсткихВ» початкових завдань. br/>

Початкові умови мають вигляд:

Y (0) = Yнач. br/>

Повне рішення системи звичайних диференціальних рівнянь Y (x) = A В· Y (x) + F (x) має вигляд:

Y (x) = K (x в†ђ 0) В· Y (0) + Y * (x в†ђ 0).

Або можна записати:

Y (0) = K (0 в†ђ x1) В· Y (x1) + Y * (0 в†ђ x1). br/>

Підставами це вираження в крайові умови і отримаємо:

K (0 в†ђ x1) В· Y (x1) + Y * (0 в†ђ x1) = Yнач

або p> K (0 в†ђ x1) В· Y (x1) = Yнач - Y * (0 в†ђ x1)

або p> K1 В· Y (x1) = Y1.

Проортонорміруем цей вираз порядково і отримаємо еквівалентну вираз:

K1орто В· Y (x1) = Y1орто. p> Тоді