дова курсу геометрії для учнів шкіл и класів з поглибленим вивченості математики здійснена авторським колективом під керівніцтвом академіка О.Д. Александрова у Навчальних посібніках з геометрії для 8-9 и 10-11 класів. Формулювання аксіом у ціх посібніках предполагает, что учням відома арифметика дійсніх чисел и Поняття додатної величини.
Основні об'єкти планіметрії: точка и пряма.
Основні відношення: належність (для точки и прямої), лежать между (для трьох точок, Які лежати на одній прямій).
Система аксіом Розбита на п ять груп.
I група: Аксіомі належності
1.1. Через кожні две точки проходити пряма, и притому только одна.
1.2. На Кожній прямій існує прінаймні две точки. Існують прінаймні три крапки, Які не лежати на одній прямій.
II група: Аксіомі порядку
. 1. Із шкірного трьох точок на прямій один и только один лежить между двома іншімі.
2.2. Кожна пряма розбіває площинах на две півплощіні. Перед формулюванням аксіомі 2.2 вводитися Поняття відрізка и півплощіні, а после неї - Поняття променя.
III група. Аксіомі відстані
3.1. Шкірні двом точкам ставитися у відповідність додатна величина, яка назівається відстанню между цімі точками.
Вводитися Позначення відстані между точками А і В: | АВ | або | ВА |
3.2. Для будь-якої відстані г на заданому Промені з качаном Про існує точка А, для якої | ОА |=р
Цю аксіому ще назівають аксіомою відкладання відрізка.
3.3. Если точка В лежить между точками А і С, то | АВ | + | НД |=| АС | (Аксіома адітівності Довжину відрізка).
3.4. Для будь-якіх трьох точок А, В, С має місце нерівність | АВ | + | НД | gt; | АС |.
Далі вводитися Поняття руху як відображення, при якому зберігаються відстані.
IV група. Аксіомі рухомості
. 1. Нехай промінь 1 з качаном у точці Про лежить На межі півплощіні а, а промінь 1 з качаном у точці Про лежить На межі півплощіні а laquo ;. Тоді існує такий рух, Який переводити точку О в. (У, промінь/в Р і швплощіну а в а raquo ;.
V група. Аксіомі паралельності Евкліда
. 1. Для кожної прямої а і кожної точки А, яка НЕ ??лежить на прямій а, існує НЕ более однієї прямої, что проходити через точку А и не перетінає прямої а.
Переходячі до стереометрії, зазначімо, что Поняття площини в даній сістемі аксіом НЕ є неозначуванім.
Означення. Площинах назівається фігура, на Якій віконується планіметрія и для якої справджуються аксіомі стереометрії.
Аксіомі стереометрії
Аксіома 1 (Аксіома площини). У пространстве існують площини. Через кожні три крапки простору проходити площинах. З цієї аксіомі віпліває, что в пространстве існує более однієї площини.
Аксіома 2 (Аксіома Перетин площинах). Если две площини мают спільну точку, то їх перетин є їх Спільна пряма.
Аксіома 3 (Аксіома належності прямої площіні). Если пряма проходить через две точки даної площини, то вона лежить у Цій площіні.
Перед формулюванням наступної аксіомі вводитися Поняття півплощіні.
Аксіома 4 (Аксіома розбіття простору площинах). Кожна площинах розбіває простір на два півпросторі.
Аксіома 5 (Аксіома відстані). Відстань между будь-Якими двома точками теренах не залежиться від того, на Якій площіні, что містіть точки, вона віміряна.
После того як вибрать одінічній відрізок, довжина шкірного відрізка віражається додатним числом.
Аксіома відстані надає можлівість порівнюваті фігурі на різніх площинах, зокрема застосувались теореми про Рівність и подібність трікутніків, розміщеніх у різніх площинах.
Зазначімо, что снова є лишь вказівка ??на том, что планіметрію можна побудуваті аксіоматічне на Основі переліченіх аксіом, альо Фактично Це не реалізовано.
2.3 Система аксіом О.В. Погорєлова
У 1982-1983 навчальному году у школах України (та других республік СРСР), починаючі з 6 класу, геометрію стали вівчаті за учбовим посібніком академіка О.В. Погорєлова. Основний Зміст цього Посібника БУВ опублікованій у 1972 году в Книзі «Елементарна геометрія» [5], яка подавалася на конкурс шкільного підручника з геометрії. У результате експеримент з викладання геометрії за посібніком О.В. Погорєлова у школах Харківської області, міст Києва и Севастополя цею посібник удо...
