и, чи міститься знайдені рішення у загальному рішенні чи ні.
Т.е. зі знайдених рішень, які не міститися в загальному рішенні, і будуть особливими рішеннями. Якщо виявиться, що не звертається до нескінченність (або звертається в нескінченність лише в окремих точках), то рівняння не має особливих рішень. Звідси, зокрема, знову отримуємо, що лінійне рівняння, де - неперервна функція, не має особливих рішень, так як його інтегруючий множник (2.54) не звертається до нескінченність в проміжку безперервності.
Досліджуємо за допомогою інтегруючого множника питання про особливі рішеннях рівняння з розділяють змінними і однорідного рівняння.
2.6 Інтегруючий множник рівняння із перемінними
Рівняння (2.29) називається рівнянням із перемінними, якщо функції і розкладаються на множники, залежний кожен тільки від однієї змінної:
. (2.64)
Для вирішення даного рівняння необхідно помножити це рівняння на множник
, (2.65)
після чого отримували рівняння
, (2.66)
кожен член якого буде залежати тільки від однієї змінної, очевидно, отримано рівняння в повних диференціалах.
Отже, множник (2.65) є інтегруючий множник рівняння (2.64).
З формули (2.65) ми бачимо, що інтегруючий множник звертається в нескінченність лише вздовж прямих, паралельних осях координат, що визначаються рівняннями,, і, отже, тільки ці прямі і можуть бути особливими рішеннями.
Висновок
Диференціальні рівняння виступають математичними моделями різних явищ механіки суцільного середовища, хімічних реакцій, електричних і магнітних явищ і ін. Вони являє собою виключно багатий змістом, швидко розвивається розділ математики, тісно пов'язаний з іншими областями математики і з її додатками.
Диференційним рівнянням називається рівняння, що містить похідні невідомої функції.
Якщо в диференціальному рівнянні невідома функція є функцією однієї незалежної змінної, то воно називається звичайним диференціальним рівнянням.
Рішенням диференціального рівняння називається функція, яка при підстановці в диференціальне рівняння звертає його в тотожність.
Рівняння в повних диференціалах є одним з найпоширеніших диференціальних рівнянь. Дані рівняння завжди інтегрується в квадратурах. Але якщо рівняння не в повних диференціалах, то його можна привести до вигляду рівняння в повних диференціалах. Для це необхідно знайти функцію, після множення на яку вихідне рівняння перетвориться в рівняння в повних диференціалах. Така функція називається інтегруючим множником.
При дотриманні необхідних умов, що гарантують існування загального інтеграла існує і інтегруючий множник (теорема про існування інтегруючого множника).
Загальний інтеграл має незліченну безліч інтегруючих множників. Ця властивість «неєдиним» інтегруючого множника і наявності залежності між інтегралами одного і того ж рівняння мають місце і для всякого рівняння, у якого забезпечено існування загального інтеграла (теорема про неєдиним інтегруючого множника).
Спираючись на поставлені завдання, в даній курсовій роботі так само були розглянуті найпростіші випадки знаходження інтегруючого множника:
.случай інтегруючого множника, залежного тільки від;
.случай інтегруючого множника, залежного тільки від;
.случай інтегруючого множника виду;
.інтегрірующій множник рівняння із перемінними;
.інтегрірующій множник і особливі рішення.
Останній досліджуваний випадок говорить про те, що знаючи інтегруючий множник, можемо знайти не тільки загальний інтеграл рівняння, але також і всі особливі рішення. Особливим рішенням рівняння може бути тільки таке рішення, уздовж якого інтегруючий множник звертається в нескінченність.
інтегруючий множник диференціал
Список використаної літератури
1. Арнольд, В.І. Звичайні диференціальні рівняння/В.І. Арнольд.- М.: Наука, 1971. - 240 с.
2. Кудрявцев, Л.Д. Курс математичного аналізу/Л.Д. Кудрявцев.- М .: Вища школа, 1981, т. 1. - 687 с ..
. Матвєєв, Н.М. Методи інтегрування звичайних диференціальних рівнянь/Н.М. Матвєєв.- СПб: Видавництво Ленінградського Університету, 1955. - 650 с.
. Фіхтенгольц, Г.М. Основи математичного аналізу/Г.М. Фіхтенгольц.- Частина 1. 6-е изд., Стер.- СПб: Видавництво «Лань», 2005. - 448с.
. Ільїн, В.А. Вища математика: підручник для вузів/В.А. Ільїн, А.В. Куркіна.- М .: Проспект, 2002. - 592 с.
. Бугров Я.С. Вища математика: підручник для вузів: в 3 т./Я.С. Бугров, С.М. Нікольський; під ред. В.А. Садовничого.- 6-е вид., Стереотип.- М .: ...
