Щоб права частина була функцією тільки одного, візьмемо. Тоді. Множачи рівняння (2.39) на і використовуючи формулу (1.27) з п.1.3, вважаючи в ній,, знайдемо загальний інтеграл:
. (2.42)
.3 Випадок інтегруючого множника, залежного тільки від і тільки від
Припустимо, що рівняння (2.29) має інтегруючий множник, що залежить тільки від,. У цьому випадку, так що рівняння
(2.43)
приймає вигляд
, (2.44)
. (2.45)
Звідси випливає, що для існування інтегруючого множника виду необхідно і достатньо, щоб коефіцієнт при представляв собою функцію тільки від, т.е.
. (2.46)
Якщо ця умова виконується, то ми маємо:
, (2.47)
отже, функція
(2.48)
є інтегруючим множником рівняння (2.29).
Приклад 1. Знайдемо інтегруючий множник лінійного рівняння
. (2.49)
Перепишемо це рівняння в диференціальній формі:
.
Перевіряючи виконання умови (2.46), маємо:
.
Отже, функція
(2.50)
є інтегруючий множник лінійного рівняння.
Приклад 2. Вирішити рівняння
.
Очевидно, що дане рівняння не є рівнянням в повних диференціалах. Спробуємо знайти інтегруючий множник. Оскільки вираз
не залежить від, то рівняння для визначення прийме вигляд
Дане рівняння є рівнянням із перемінними одним з рішенням якого, є функція. Множачи обидві частини вихідного рівняння на інтегруючий множник, отримуємо рівняння в повних диференціалах:
Інтегруючи його, знаходимо спільне рішення:
Знайдемо умова, при якому інтегруючий множник залежить тільки від:. в цьому випадку рівняння (2.43) приймає вигляд
, (2.51)
. (2.52)
Якщо коефіцієнт при є функцією тільки від, т.е.
, (2.53)
то інтегруючий множник дається формулою
. (2.54)
Приклад 3. Вирішити диференціальне рівняння
.
А значить, інтегруючий множник існує і дорівнює
.
Помножимо вихідне рівняння на, одержимо
.
Це рівняння в повних диференціалах і воно інтегрується звичайним чином.
2.4 Випадок інтегруючого множника виду
Розглянемо більш загальний випадок, коли інтегруючий множник являє собою функцію від заданої функції змінних і:.
У цьому випадку рівняння (2.43) для інтегруючого множника можна переписати так:
(2.55)
. (2.56)
Якщо коефіцієнт при представляє собою функцію тільки від:
, (2.57)
. (2.58)
Випадки інтегруючого множника, залежного тільки від або тільки від, утримуватися в розглянутому випадку при,.
Користуючись умовою (2.57), ми можемо знайти умова існування інтегруючого множника наперед заданого виду.
Наприклад, інтегруючий множник, що залежить тільки від твору існує, якщо
(тут). (2.59)
Умова існування інтегруючого множника, що має вигляд, запишеться так:
(). (2.60)
Приклад 1. Вирішити рівняння
Очевидно, знайти інтегруючий множник, що залежить тільки від однієї змінної можна. Будемо шукати інтегруючий множник у вигляді.
Нехай, тоді рівняння для знаходження прийме вигляд
,
Множачи обидві частини вихідного рівняння на даний інтегруючий множник, отримуємо рівняння в повних диференціалах:
Інтегруючи отримане рівняння, знаходимо спільне рішення:
.5 Інтегруючий множник і особливі рішення
Знаючи інтегруючий множник, ми можемо знайти не тільки загальний інтеграл рівняння, але також і всі особливі рішення. Дійсно, нехай дано рівняння (2.29):
і відомо, що є його інтегруючий множник, так що
.
Тоді ми маємо:
. (2.61)
Тому дане рівняння можна переписати так:
. (2.62)
Це рівняння розпадається на два:
. (2.63)
Перше з них призводить до загального інтегралу, а друге може призвести до особливим рішенням. Отже, особливим рішенням рівняння може бути тільки таке рішення, уздовж якого інтегруючий множник звертається в нескінченність.
Звідси отримуємо просте правило знаходження особливих рішень:
) знайти лінії, уздовж яких звертається в;
) перевірити, чи є знайдені лінії інтегральними кривими, тобто представляють вони ренію рівнянь;
) перевірит...
