000000 2.000000000000001 3.000000000000001 4.000000000000000=1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000=1.000000000000000 2.000000000000000 3.000000000000000 4.000000000000000
4. Чисельне рішення рівнянь
Знаходження коренів рівняння - це одна з найдавніших математичних проблем, що не втратила своєї гостроти і в наші дні: вона часто зустрічається в найрізноманітніших галузях науки і техніки.
Розглянемо загальновідоме квадратне рівняння:
кажуть, що значення
є корінням цього рівняння, тому що для цих значень х рівняння задовольняється. У більш загальному випадку, якщо є деяка функція F (х) , то буває необхідно знайти такі значення аргументу х , для яких
(4.1)
Функція F (х) може бути алгебраїчної або трансцендентної; ми зазвичай будемо припускати, що вона диференційовна.
У загальному випадку функції, які ми будемо розглядати, не мають аналітичних формул для своїх коренів на противагу, наприклад, квадратному рівнянню. Тому доводиться користуватися наближеними методами пошуку коренів, які в основному складаються з двох етапів:
. Відшукання наближеного значення кореня.
. Уточнення наближеного значення до деякої заданої ступеня точності. чисельне інтегрування рівняння
Дуже часто наближене значення кореня буває відомо з фізичних міркувань, в інших випадках можна використовувати графічні методи. Крім того, існують спеціальні методи знаходження наближеного кореня для того практично важливого випадку, коли F (x) є поліномом.
Чисельний метод, в якому проводиться послідовне, крок за кроком, уточнення первісного грубого наближення, називається методом ітерацій . Кожен крок у такому методі називається итерацией . Якщо при послідовних ітераціях виходять значення, які все ближче і ближче наближаються до істинного значення кореня, то кажуть, що метод ітерацій сходиться .
Припустимо, що для простоти обчислень обрано ? = x n . Тоді набуває наступний вигляд:
(4.2)
x n + 1 знаходимо з. Формули
(4.3)
Неважко бачити, що (4.3) еквівалентно простому методу послідовних наближень
Де
Згадаймо також, що якщо lt; 1, то метод сходиться. Для g '(х) маємо
Але оскільки f (х) підпорядковується співвідношенню, то для х , досить близьких до а , вираз в дужках стає малим. Тому ітераційний метод, описуваний формулою (4.3), сходиться, якщо
. х 0 вибрано досить близько до вирішення х=f (х) .
2. Похідна не стає занадто великою.
. Похідна не дуже близька до 1.
Це і є знаменитий метод Ньютона-Рафсона. Зазвичай його записують у більш звичній формі:
Де
Таким чином, ми повертаємося до рівняння у формі (4.1), і умови збіжності приймають такий вигляд:
. х 0 вибрано досить близько до кореня рівняння F (х)=0 .
. Похідна F" (х) не стає дуже великий.
. Похідна F '(х) не дуже близька до нуля.
Остання умова означає, що ніякі два корені не перебувають занадто близько один до іншого.
Розглянемо геометричне тлумачення методу Ньютона-Рафсона. У формулі (4.3) ми вибрали точку ? збігається з х n . На рис.9 це відповідає тому, що кут ? дорівнює куту нахилу дотичної до у=f (х) в точці х=х n . Знаходження наступного наближення зводиться при цьому до того, що проводиться дотична до кривої у=f (х) в точці х=х < i align="justify"> n і відшукується точка її перетину з прямою у=х . Ця точка і буде новим наближенням
