p>
де c - відстань від центру еліпса до його фокусу (половина межфокусного відстані), a - велика піввісь. Величина e називається ексцентриситетом еліпса. При c = 0 і e = 0 еліпс перетворюється в коло.
Закон всесвітнього тяжіння Ньютона говорить, що В«кожен об'єкт у всесвіті притягує кожен інший об'єкт по лінії з'єднує центри мас об'єктів, пропорційно масі кожного об'єкта, і обернено пропорційно квадрату відстані між об'єктами В». Це передбачає, що прискорення a має форму
В
Згадаймо, що в полярних координатах
В В
У координатної формі запишемо
В В
Підставляючи і в друге рівняння, отримаємо
В
яке спрощується
В
Після інтегрування запишемо вираз
В В В
для деякої константи, яка є питомою кутовим моментом (). Нехай
В В В
Рівняння руху в напрямку стає рівним
В
Закон всесвітнього тяжіння Ньютона пов'язує силу на одиницю маси з відстанню як
В
де G - універсальна гравітаційна константа і M - маса зірки.
У результаті
В
Це диференціальне рівняння має спільне рішення:
В
для довільних констант інтегрування e і Оё 0 .
Замінюючи u на 1/r і вважаючи Оё 0 = 0, отримаємо:
В
Ми отримали рівняння конічного перетину з ексцентриситетом e і початком системи координат в одному з фокусів. Таким чином, перший закон Кеплера прямо випливає із закону всесвітнього тяжіння Ньютона і другого закону Ньютона. <В
Другий закон Кеплера (Закон площ)
В В
Кожна планета рухається в площині, що проходить через центр Сонця, причому за рівні часи радіус-вектор, що з'єднує Сонце і планету, замітає сектора рівної площі.
Стосовно до нашої Сонячної системи, з цим законом пов'язані два поняття: перигелій - найближча до Сонця точка орбіти, і афелій - найбільш віддалена точка орбіти. Таким чином, з другого закону Кепплера слід, що планета рухається навколо Сонця нерівномірно, маючи в перигелії велику лінійну швидкість, ніж у афелії.
Щороку в початку січня Земля, проходячи через перигелій, рухається швидше, тому видиме переміщення Сонця по екліптиці на схід також відбувається швидше, ніж у середньому за рік. На початку липня Земля, проходячи афелій, рухається повільніше, тому і переміщення Сонця по екліптиці сповільнюється. Закон площ вказує, що сила, керуюча орбітальним рухом планет, спрямована до Сонця.
За визначенню кутовий момент точкової частинки з масою m і швидкістю записується в вигляді:
. p> де - радіус-вектор частинки а - імпульс частинки.
За визначенню
. br/>
У результаті ми маємо
. br/>
Продиференціюємо обидві частини рівняння за часом
В
оскільки векторне твір паралельних векторів дорівнює нулю. Зауважимо, що F завжди паралельний r, оскільки сила радіальна, і p завжди паралельний v по визначенням. Таким чином можна стверджувати, що - константа. <В
Третій закон Кеплера (Гармонійний закон)
В
Квадрати періодів звернення планет навколо Сонця відносяться, як куби великих піввісь орбіт планет.
,
де T 1 і T 2 - періоди обертання двох планет навколо Сонця, а a 1 і a 2 - довжини великих піввісь їх орбіт.
Ньютон встановив, що гравітаційне тяжіння планети певної маси залежить тільки від відстані до неї, а не від інших властивостей, таких, як склад або температура. Він показав також, що третій закон Кеплера зовсім точний - у дійсності в нього входить і маса планети:
,
де M - Маса Сонця, а m 1 і m 2 - маси планет.
Оскільки рух і маса виявилися пов'язані, цю комбінацію гармонійного закону Кеплера і закону тяжіння Ньютона використовують для визначення маси планет і супутників, якщо відомі їх орбіти і орбітальні періоди.
Шістьма елементами, що визначають геліоцентричну незбурених О. н. т. Р (мал.), є:
нахил орбіти до площини екліптики i.
В
Може мати будь-яке значення від 0 до 180 В°; нахил вважається меншим 90 В°, якщо для спостерігача, що знаходиться в північному полюсі екліптики, рух планети має пряме напрям (проти годинникової стрілки), і великим 90 В° при зворотному русі. Довгота вузла W. Це - геліоцентрична довгота точки, в якій планета перетинає екліптику, переходячи з Південної півкулі в Північну (Висхідний вузол орбіти). Довгота вузла може приймати значення від 0 до 360 В°. Велика піввісь орбіти а. Іноді замість а в якості елемента орбіти приймається середнє добове рух n (дуга орбіти, прохідна тілом за добу). Ексцентриситет орбіти е. Якщо b - мала піввісь орбіти, то е =/a. Замість ексцентриситету іноді приймають кут ексцентриситету j, який визначає...
