- 3Пѓ; а +3), дорівнює 0,9973 (на рис. 8 ця ймовірність представлена ​​майже всієї площею, укладеної між кривою розподілу і віссю абсцис).
В
Рис. 5. До правилом В«трьох сигмВ»
Отже, ймовірність того, що відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання за абсолютною величиною перевищить утроенное середньоквадратичне відхилення, дуже мала і дорівнює 0,0027. Такі події вважаються практично неможливими. p> У цьому і полягає правило В«трьох сигм В»: якщо випадкова величина розподілена за нормальним законом, то її відхилення від математичного сподівання практично не перевищує В± 3Пѓ.
Поняття про теореми, що відносяться до групи В«центральної граничної теоремиВ»
У теоремах цієї групи з'ясовуються умови, за яких виникає нормальний розподіл. Спільним для цих теорем є наступна обставина: закон розподілу суми досить великого числа незалежних випадкових величин за деяких умов необмежено наближається до нормального. Познайомимося з вмістом (без докази) з однією з таких теорем.
Центральна гранична теорема для однаково розподілених доданків (П. Леві). Якщо незалежні випадкові величини Х 1 , Х 2 , ... Х n , мають один і той же закон розподілу з математичним сподіванням а і дисперсією Пѓ 2 , то при необмеженому збільшенні n закон розподілу суми Х 1 + Х 2 + ... + Х n необмежено наближається до нормального.
Теорема Ляпунова. Якщо випадкова величина Y являє собою суму великого числа незалежних випадкових величин Y 1 , Y 2 , ... Y n , вплив кожної з яких на всю суму рівномірно мало, то величина Y має розподіл, близьке до нормального, і тим ближче, чим більше п.
При цьому приємно те, що закони розподілу сумміруемих випадкових величин можуть бути будь-якими, заздалегідь не відомими досліднику. Практично даної теоремою можна користуватися і тоді, коли мова йде про суму порівняно невеликого числа випадкових величин. Досвід показує, що при числі доданків близько 10 закон розподілу суми близький до нормального.
Теорема Ляпунова має важливе практичне значення, оскільки багато випадкові величини можна розглядати як суму окремих незалежних доданків. Наприклад: помилки різних вимірювань; відхилення розмірів деталей, виготовлених при незмінному технологічному режимі; розподіл числа продажів деякого товару, обсягів прибутку від реалізації однорідного товару різними виробниками; валютні курси; зріст, вага тварин і рослин даного виду; відхилення точки падіння снаряда від цілі і т.д. можуть розглядатися як сумарний результат великої числа доданків і тому наближено слідувати нормальному закону розподілу.
Показовий (експоненційний) розподіл
Експоненціальне (Показовий) розподіл тісно пов'язане з розподілом Пуассона, яке використовується для обчислення ймовірності появи події в деякий період часу. Розподіл Пуассона - це розподіл числа появи подій в заданий інтервал часу довжиною t. Єдиний параметр розподілу Пуассона О» характеризує інтенсивність процесу, тобто з його допомогою ми можемо обчислити середнє число появи події.
Закон рівномірного розподілу (рівномірної щільності)
Якщо можливі значення неперервної випадкової величини належать певного інтервалу, а щільність її розподілу на цьому інтервалі залишається постійною, то говорять, що дана випадкова величина розподілена за законом рівномірної щільності.
У рівномірному розподілі ймовірність того, що випадкова величина буде приймати значення всередині заданого інтервалу, пропорційна довжині цього інтервалу.
Нехай неперервна випадкова величина X розподілена на інтервалі (О±, ОІ) з рівномірною щільністю. Її щільність W (х) на цій ділянці постійна і дорівнює C. Поза цього інтервалу вона дорівнює нулю, так як випадкова величина X за межами інтервалу (О±, ОІ) значень не має (рис. 6).
В
Рис. 6. Загальний вигляд графіка функції щільності рівномірного розподілу
Знайдемо значення постійної С. Площа, обмежена кривою розподілу і віссю абсцис, повинна дорівнювати е дініце, тобто С (ОІ - О±) = 1. Отже, С = 1/(ОІ - О±) і щільність для рівномірного розподілу можна записати:
(10) Функція розподілу
(11)
В
Рис. 7. Графік функції розподілу для випадкової величини, розподіленої за законом рівномірної щільності
Математичне сподівання безперервної рівномірно розподіленої випадкової величини
М (Х) = (О± + ОІ)/2, (12)
дисперсія D (x) = (ОІ-О±) 2 /12, (13)
середньоквадратичне відхилення
s (x) == (О’ - О±)/(2). (14)
Для безперервної рівномірно розподіленої випадкової величини X, заданої на інтервалі
(a
якщо.
Література: [2], [4], [5].
<...
