прямої, що проходить через точку М 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) паралельно вектору a = {l, m, n}.
Будь ненульовий вектор, паралельний даній прямій, називається її напрямних вектором.
Для будь-якої точки М (x, y, z), що лежить на даній прямій, вектор М 0 М = {x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ) коллінеарен направляючому вектору а. Тому мають місце рівності:
В
звані канонічними рівняннями прямої в просторі.
Зокрема, якщо потрібно отримати рівняння прямої, що проходить через дві точки:
М 1 (х 1 , у 1 , z 1 ) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ), напрямних вектором такої прямої можна вважати вектор М 1 М 2 = {X 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 }, і рівняння (8.11) приймають вигляд:
-
- рівняння прямої, що проходить через дві дані точки.
Якщо ж взяти кожну з рівних дробів в рівняннях (8.11) за деякий параметр t, можна отримати так звані параметричні рівняння прямої:
. p> Кут між прямими. Кут між прямою і площиною. p> Кут між прямими у просторі дорівнює куту між їх напрямними векторами. Тому, якщо дві прямі задані канонічними рівняннями виду
і косинус кута між ними можна знайти за формулою:
. (8.14)
Умови паралельності і перпендикулярності прямих теж зводяться до відповідним умовам для їх направляючих векторів:
- умова паралельності прямих, (8.15)
- умова перпендикулярності прямих. (8.16)
Кут П† між прямою, заданої канонічними рівняннями
і площиною, яка визначається загальним рівнянням
Ax + By + Cz + D = 0, можна розглядати як додатковий до кута П€ між напрямних вектором прямої і нормаллю до площині. Тоді
В
Умовою паралельності прямої і площини є при цьому умова перпендикулярності векторів n і а:
Al + Bm + Cn = 0,
а умовою перпендикулярності прямої і площини - умова паралельності цих векторів: A/l = B/m = C/n. p> Кривими другого порядку на площині називаються лінії перетину кругового конуса з площинами, не проходять через його вершину.
Якщо така площина перетинає всі утворюють однієї порожнини конуса, то в перерізі виходить еліпс, при перетині утворюють обох порожнин - гіпербола, а якщо січна площина паралельна-якої утворює, то перетином конуса є парабола.
Зауваження. Всі криві другого порядку задаються рівняннями другого ступеня від двох змінних.
Еліпс.
Еліпсом називається безліч точок площини, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок F 1 і F 2 цій площині, званих фокусами, є величина постійна.
Зауваження. При збігу точок F 1 і F 2 еліпс перетворюється в коло. p> канонічне рівняння еліпса:
Ексцентриситетом еліпса називається величина е = с/а
b ВІ = a ВІ-c ВІ
Директоркою D i еліпса, що відповідає фокусу F i , називається пряма, розташована в одній півплощині з F i щодо осі Оу перпендикулярно осі Ох на відстані а/е від початку координат.
Зауваження. При іншому виборі системи координат еліпс може задаватися канонічним рівнянням, а рівнянням другого ступеня іншого.
Властивості еліпса:
1) Еліпс має дві взаємно перпендикулярні осі симетрії (головні осі еліпса) і центр симетрії (центр еліпса). Якщо еліпс заданий канонічним рівнянням, то його головними осями є осі координат, а центром - початок координат. Оскільки довжини відрізків, утворених перетином еліпса з головними осями, рівні 2а і 2b (2a> 2b), то головна вісь, що проходить через фокуси, називається великою віссю еліпса, а друга головна вісь - малої віссю.
2) Весь еліпс міститься усередині прямокутника
3) Ексцентриситет еліпса e <1. p> Дійсно, p> 4) Директриси еліпса розташовані поза еліпса (так як відстань від центру еліпса до директриси дорівнює а/е, а е <1, отже, а/е> a, а весь еліпс лежить у прямокутнику)
5) Відношення відстані r i від точки еліпса до фокуса F i до відстані d i від цієї точки до відповідає фокусу директриси одно ексцентриситету еліпса.
Гіпербола.
Гіперболою називається безліч точок площини, для яких модуль різниці відстаней до двох фіксованих точок F 1 і F 2 цій площині, званих фокусами, є величина постійна.
- канонічне рівняння гіперболи. p> Ексцентриситетом гіперболи називається величина е = с/а.
Директоркою D i гіперболи, що відповідає фокусу F i , називається пряма, розташована в одній півплощині з F i щодо осі Оу перпендикулярно осі Ох на відстані а/е від початку координат.
Властивості гіперболи:
1) Гіпер...
