фіцієнтом.
Дійсно, всі точки прямій l 1 , паралельної l і що проходить
через початок координат, задовольняють рівняння у = kх, а ординати відповідних точок на прямий l відрізняються від них на постійну величину b.
Неповні рівняння прямої.
1) С = 0 - пряма Ах + Ву = 0 проходить через початок координат. p> 2) В = 0 - пряма Ах + С = 0 паралельна осі Оу (так як нормаль до прямий {A, 0} перпендикулярна осі Оу).
3) А = 0 - пряма Ву + С = 0 паралельна осі Ох. p> 4) В = С = 0 - рівняння Ах = 0 визначає вісь Оу. p> 5) А = С = 0 - рівняння Ву = 0 визначає вісь Ох. <В
де і рівні величинам відрізків, що відсікаються прямій на осях Ох і Оу. Рівняння прямої в відрізках.
Кут між прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих. p> 1. Якщо прямі L 1 і L 2 задані загальними рівняннями
А 1 х + В 1 у + З 1 = 0 і А 2 х + В 2 у + З 2 = 0,
то
.
2. Якщо прямі задані канонічними рівняннями, за аналогією з пунктом 1 отримаємо:
,
- умова паралельності,
- умова перпендикулярності. p> Тут і - напрямні вектори прямих.
3. Нехай прямі L 1 і L 2 задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами
у = k 1 x + b 1 і y = k 2 x + b 2 , де , а О± 1 і О± 2 - кути нахилу прямих до осі Ох, то для кута П† між прямими справедливо рівність: П† = О± 2 - О± 1 . Тоді
. p> Умова паралельності має вигляд: k 1 = k 2 ,
умова перпендикулярності - k 2 = -1/k 1 , оскільки при цьому tgП† не існує.
Відстань від точки до прямої.
Розглянемо пряму L і проведемо перпендикуляр ЗР до неї з початку координат (Припускаємо, що пряма не проходить через початок координат). p> Відстань від точки до прямої визначається так:
В
Зауваження. Для того, щоб привести загальне рівняння прямої до нормального вигляду, потрібно помножити його на число, причому знак вибирається протилежним знаку вільного члена С в загальному рівнянні прямої. Це число називається нормуючим множником. p> Приклад. Знайдемо відстань від точки А (7, -3) до прямої, заданої рівнянням
3х + 4у + 15 = 0. А ВІ + B ВІ = 9 +16 = 25, C = 15> 0, тому нормуючий множник дорівнює
-1/5, та нормальне рівняння прямої має вигляд: Підставивши в його ліву частину замість х і у координати точки А, отримаємо, що її відхилення від прямої дорівнює
Отже, відстань від точки А до даної прямої одно 4,8.
Відстань між двома точками М (х, у, z) і N (х 1 , у 1 , z 1 ) виражається формулою
d (MN) = (х 1 - x) ВІ + (у 1 - y) ВІ + (z 1 - z) ВІ
Площина в просторі.
A (x - x 0 ) + B (y - y 0 ) + C (z - z 0 ) = 0.
рівняння площини, що проходить через дану точку перпендикулярно даному вектору.
Після приведення подібних можна записати рівняння у вигляді:
Ax + By + Cz + D = 0,
де D =-Ax 0 - By 0 - Cz 0 . Це лінійне рівняння відносно трьох змінних називають загальним рівнянням площині.
В
рівняння площини у відрізках .. Параметри а, b і з рівні величинам відрізків, відсікаються площиною на координатних осях.
Кут між площинами. Умови паралельності і перпендикулярності площин.
Косинус кута між площинами О± 1 і О± 2 дорівнює
В
Умова паралельності площин полягає в паралельності нормалей:
В
а умова перпендикулярності площин - в перпендикулярності нормалей або рівність нулю їх скалярного твори:
A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0
Пряма в просторі.
Зауваження. Пряму в просторі неможливо задати одним рівнянням. Для цього потрібна система двох або більше рівнянь. p> Перша можливість скласти рівняння прямої в просторі - представити цю пряму як перетин двох непаралельних площин, заданих рівняннями
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 і A < sub> 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, де коефіцієнти A 1 , B 1 , C 1 і A 2 , B 2 , C 2 не пропорційні:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. p> Однак при вирішенні багатьох завдань зручніше користуватися іншими рівняннями прямої, що містять в явній формі деякі її геометричні характеристики.
Складемо рівняння...
