бола має дві осі симетрії (головні осі гіперболи) і центр симетрії (центр гіперболи). При цьому одна з цих осей перетинається з гіперболою в двох точках, званих вершинами гіперболи. Вона називається дійсною віссю гіперболи (вісь Ох для канонічного вибору координатної системи). Інша вісь не має спільних точок з гіперболою і називається її уявної віссю (в канонічних координатах - вісь Оу). По обидві сторони від неї розташовані права і ліва гілки гіперболи. Фокуси гіперболи розташовуються на її дійсної осі.
2) Гілки гіперболи мають дві асимптоти, що визначаються рівняннями
і.
3) Поряд з гіперболою (11.3) можна розглянути так звану сполучену гіперболу, яка визначається канонічним рівнянням
,
для якої міняються місцями дійсна і уявна вісь із збереженням тих же асимптот.
4) Ексцентриситет гіперболи e> 1. p> 5) Ставлення відстані r i від точки гіперболи до фокуса F i до відстані d i від цієї точки до відповідає фокусу директриси одно ексцентриситету гіперболи.
Доказ можна провести так само, як і для еліпса.
Парабола.
Параболою називається безліч точок площини, для яких відстань до деякої фіксованої точки F цій площині дорівнює відстані до деякої фіксованої прямій. Точка F називається фокусом параболи, а пряма - її директоркою. p> y ВІ = 2px,
канонічне рівняння параболи. Величина р називається параметром параболи. p> Властивості параболи:
1) Парабола має вісь симетрії (вісь параболи). Точка перетину параболи з віссю називається вершиною параболи. Якщо парабола задана канонічним рівнянням, то її віссю є вісь Ох, а вершиною - початок координат.
2) Вся парабола розташована в правій півплощині площині Оху. p> Зауваження. Використовуючи властивості директрис еліпса і гіперболи і визначення параболи, можна довести наступне твердження:
Безліч точок площини, для яких відношення е відстані до деякої фіксованої точки до відстані до деякої прямої є величина постійна, являє собою еліпс (при e <1), гіперболу (при e> 1) або параболу (при е = 1).
Приведення рівняння другого порядку до канонічного вигляду.
Лінія, обумовлена ​​загальним рівнянням другого порядку
,
називається алгебраїчної лінією другого порядку.
Для того, щоб перейти до нової системи координат, в якій рівняння лінії буде мати канонічний вигляд, необхідно провести два перетворення:
1) поворот координатних осей на такий кут, щоб їх напрям співпало з напрямком осей симетрії кривої (якщо вона має дві осі);
2) паралельний перенесення, при якому початок координат поєднується з центром симетрії кривої (якщо він існує).
Зауваження. Для параболи нові осі координат повинні розташовуватися паралельно і перпендикулярно директрисі, а початок координат - співпасти з вершиною пара
Класифікація кривих другого порядку.
Розглянемо загальне рівняння другого порядку
В
і з'ясуємо, які геометричні образи на площині можуть задаватися цим рівнянням.
- канонічне рівняння еліпса.
або , Залежно від знака. Обидва цих рівняння визначають гіперболу. p> б) При = 0 одержуємо рівняння, еквівалентну двом лінійним рівнянням: і, що задає пару пересічних прямих.
а) до рівнянням (11.8):, що визначає параболу;
б) до рівнянням, або, задающему пару паралельних прямих;
в) до рівняння, що визначають одну пряму (або пару співпадаючих прямих);
г) до рівняння, що не має рішень і, отже, не визначає ніякого геометричного образу.
Запитання для самоперевірки.
1) Що називається спрямованим відрізком і його довжиною? p> 2) Який вектор дорівнює сумі двох взаємно протилежних векторів з рівними модулями?
3) Чому одно скалярний добуток двох взаємно перпендикулярних векторів? паралельних векторів?
4) Чому одно скалярний твір ортов координатних осей? p> 5) Виведіть формулу для визначення відстані між точками на площині.
6) Виведіть із загального рівняння прямої рівняння з кутовим коефіцієнтом.
Чого дорівнює коефіцієнт при х у цьому рівнянні?
7) Сформулюйте умову паралельності і перпендикулярності двох прямих для загального рівняння прямої.
8) яким властивістю володіє пряма у = kх + bпрі b = 0?
9) як знаходять точку перетину двох прямих? Сформулюйте умову, при якому дві прямі не мають жодної спільної точки перетину.
10) як із загального рівняння площини знайти точки її перетину з координатними осями?
11) Що таке еліпс і гіпербола? Напишіть їх канонічні рівняння. p> 12) Чому еліпс, гіпербола і парабола називаються кривими другого порядку?
13) У яку криву переходить еліпс при a = b? Напишіть рівняння цієї кривої. p> 14) Виходячи з канонічного рівняння, покажіть графік параболи. Чим ця парабола відрізняється від відомої параболи зі шкільного курсу?
ТЕМА 4. ФУНКЦІЇ
