ння компонент наближеного рішення.
Крок:
В
Задамо вектори правих частин систем рівнянь:
В В В В В В
В
В
Графіки рішень для першої системи:
В
В
В
Графіки рішень для другої системи:
В
В
Визначимо, для якої з завдань явний метод нестійкий при кроці h = 0.01. Знайдемо власні числа матриць. br/>В В В В
Максимальні і мінімальні власні числа матриць А і В:
В В В В В В В В В В В В
Умова стійкості виконується для матриці А (USА> h), але не виконується для матриці В (USВ
Визначимо, яка з систем є жорсткою:
В В В В
Число жорсткості системи gA мало (тобто власні числа матриці А незначно відрізняються один від одного), тому система не жорстка.
Число жорсткості системи gB велике (тобто власні числа матриці В значно відрізняються один від одного), тому система жорстка.
Визначимо, при якому кроці явний метод Ейлера буде стійкий при вирішенні жорсткої системи:
В В В В
В
завдання коші похибка диференційний
Графіки рішень для першої та другої компоненти системи B:
В
В
Як видно з графіків рішень, явний метод Ейлера стійкий з кроком hz = 0.0028. Умова стійкості usB> hz (8.496 * 10 -3 > 0.0028) виконується.
Знайдемо рішення жорсткої завдання з неявному методу Ейлера.
Опишемо функцію знаходження рішення системи ОДУ 1 порядку c постійними коефіцієнтами по неявному методу Ейлера.
В якості параметрів вона приймає матрицю М системи, вектор початкових умов V o початок t o , кінець відрізка інтегрування T і число вузлів рівномірної сітки N:
В
Для оцінки результатів рішення будемо використовувати вбудовану функцію для вирішення жорстких систем stiffr. Для її застосування необхідна матриця Якобі:
В В В В В В В
Графіки рішень для першої та другої компоненти системи:
В
В
Знайдемо таке значення кроку H для вирішення жорсткої системи по явному методом Ейлера, що результати рішення будуть візуально збігатися з рішенням, отриманим неявним методом Ейлера з кроком h = 0.01:
В В В В
В
В
Висновок: явний метод Ейлера 1-го порядку точності дає наближене рішення систем ОДУ з постійними коефі...
