7 - Г. Ламі. Теорему Ферма достатньо довести для будь-якого простого показника n = p> 2, тобто достатньо довести, що рівняння
+ yn = zn
не має рішень в цілих ненульових взаємно простих числах x, y, z.
Можна також вважати, що числа x і y взаємно простих з p. При доведенні теореми Ферма розглядають два випадки:
перший випадок, коли (xyz, p) = 1 і
другий випадок, коли p | z. p align="justify"> Доказ другого випадку теореми Ферма більш складно і зазвичай проводиться методом нескінченного спуску. p align="justify"> Теорема Ферма може бути сформульована так: для будь-якого натурального числа n> 2 на кривій Ферма xn + yn = 1 немає раціональних точок, крім тривіальних (0, В± 1), (В± 1,0). Раціональні точки на кривій Ферма досліджуються методами алгебраїчної геометрії. Цими методами доведено, що число раціональних точок на кривій Ферма у всякому разі звичайно, що випливає з гіпотези Морделла, доведеною Г. Фалтінгсом. p align="justify"> Рівняння Ферма розглядається в алгебраїчних числах, цілих функціях, матрицях і т.д. Є узагальнення теореми Ферма для рівнянь виду
ферма число теорема доказ
xn + yn = Dzn.
Полегшена теорема Ферма
Якщо х, у, z, n - натуральні числа, причому n? z, то рівність xn + yn = zn неможливо.
Доказ:
Нехай існують натуральні числа x, y, n, я такі, що n? z і xn + yn = zn. Неважко помітити, що x xn, всупереч нашому очікуванню, що xn + yn = zn. Звідси випливає справедливість твердження. p align="justify"> Що і потрібно було довести.
Мала теорема Ферма
Для будь-якого простого р і цілого а, ар-1 - 1 ділиться на р.
Доказ:
Розглянемо два випадки: a ділиться на p; a не ділиться на p.
) a ділиться на p;
Тоді використовуючи порівняння <# "justify"> Іліap? a (mod p).
У цьому випадку теорема доведена.
) a не ділиться на p;
Рассмотрімчіслаa, 2a, 3a, ..., (p - 1) a (*).
Покажемо, що ці числа дають різні залишки при діленні на p. Очевидно, залишок також не може бути 0. p align="justify"> Доведемо від зворотного.
Нехай якісь два числа ka, na мають однакові залишки при діленні на p (нехай k> n). Тоді різниця ka - na ділиться на p. Значить (k - n) a ділиться на p. Але a не ділиться на p, а різниця k - n менше p і відмінна від нуля, тому також не ділиться на p. Ми прийшли до протиріччя - наше припущення, що числа (*) можуть давати од...
