ення последнего інтеграла застосуємо теорему про середнє [5].
Теорема. Нехай - інтегровані на проміжку Функції, причому, на всьому проміжку НЕ змінює знак. Тоді
де
Если неперервно на, то ця формула может буті записана у вігляді
де
Застосуємо Цю теорему до інтеграла (2.2.3). За припущені функція є неперервно на, тому знайдеться така точка, Що буде Виконувати Рівність.
В
Отже,
(2.2.4)
Если відрізок Достатньо великий, то похібка (2.2.4) квадратурної формули трапеції, як правило, велика. Для Збільшення точності розділімо відрізок інтегрування на частин точками, тоді
В
Если розбіття рівномірне, тоб, то
В
Запішемо окремо узагальнення формулу трапеції и окремо ее похібку:
(2.2.5)
(2.2.6)
Величина-середнє Арифметичний значень Другої похідної в точках відрізку. Очевидно, что, де-найменша значення, а-найбільше Значення Другої похідної ,. Оскількі неперервно на, то в якості своих значення на вона пріймає ВСІ проміжні числа между і. Отже, існує така точка, что, тоб
(2.2.7)
На рис (2.6) показано геометричність зображення узагальненої формули трапеції (2.2.5).
В
Рис.2.6 геометричність зображення узагальненої формули трапецій
точне значення інтеграла, тоб ліва частина набліженої рівності (2.2.5) це площа кріволінійної трапеції, что обмеже зверху графіком Функції. Набліжене Значення інтеграла (права частина рівності (2.2.5) - це площа фігурі, что зверху обмеже Ламанов (рис.2.6).
З формули (2.2.7) видно, что чім більшім є число, тим Меншем буде похібка квадратурної формули (2.2.5). Крім того, з (2.2.7) видно, что алгебраїчній степінь точності и квадратурної формули трапеції дорівнює одініці (так само, як и формули центральних прямокутніків).
2.3 Метод Сімпсона
Если в квадратурній Формулі Ньютона-Котеса (2.12) взяти то здобудемо таку формулу [1]
(2.3.1)
За формулою (2.11) знаходимо. Врахувавші Властивості Коефіцієнтів Котеса, знаходимо.
После підстановок знайдення Коефіцієнтів Котеса в формулу (2.3.1), отрімуємо квадратурні формули, яка назівається "формулою Сімпсона" або "формулою парабол":
(2.3.2)
В
Рис.2.7 геометричність Тлумачення "Формула парабол"
Назва квадратурної формули (2.3.2) як "формула парабол" віпліває з геометричного Тлумачення інтеграла, ЯКЩО криве замініті параболи, что проходити через три точки (на рис.2.7 парабола показана пунктиром) i набліжене Значення інтеграла обчіслюваті як площу кріволінійної трапеції, яка зверху обмеже графіком цієї параболи.
Знайдемо Залишкова член квадратурної формули Сімпсона. Для цього з набліженої рівності (2.3.2) запішемо формулу для похібкі
(2.3.3)
Розкладемо функцію у ряд Тейлора в околі ...
