точки, пріпускаючі функцію такою, что розкладання можливе [7]:
В
Знайдемо точне Значення інтеграла:
В В В В В В В В
(2.3.4)
В
Тепер знаходимо
( 2.3.5)
Підставімо (2.3.3) і (2.3.5) у праву Частину рівності (2.3.4):
В
Отже похібка квадратурної формули Сімпсона может буті записана у вігляді
(2.3.6)
З формули (2.3.6) видно, что алгебраїчній степінь точності квадратурної формули Сімпсона дорівнює трьом, тоб ця формула має підвіщеній степінь точності.
Формулу Сімпсона такоже можна застосовуваті не до Всього відрізка інтегрування, а до окрем его частин. Для цього поділімо відрізок на частин рівної Довжина шкірний, як показано на малюнку (2.8)
В
Рис.2.8 геометричність Тлумачення формули Сімпсона
Візьмемо-й подвоєній відрізок, функцію проінтегруємо на цьом відрізку, вікорістовуючі квадратурні формули (2.3.1) з похібкою (2.3.5)
В
.
Просумувавші інтегралі за всіма подвоєнімі відрізкамі, добудемо узагальнення формулу Сімпсона
В
Если Прийняти умову, что відстань между будь-Якими двома сусіднімі Вузли однакові и дорівнює, то залишимося формулу можна переписати в більш простому вігляді
В
Тепер запішемо окремо узагальнення формулу Сімпсона та ее похібку
(2.3.7)
(2.3.8)
геометричність зображення формули (2.3.7) показань на малюнку (2.8).
Набліжене Значення інтеграла (права частина набліженої рівності (2.3.7) - це площа кріволінійної трапеції, яка зверху обмеже шматками парабол (крива показана пунктиром). p> На шкірному подвоєному відрізку графік Функції наближається своєю Божою параболи.
З формули (2.3.7) видно, Що з ростом похібка Дуже Швидко зменшується.
2.4 Практичне порівняння точності методів набліженого обчислення інтегралів 3-ма методами
Застосовуючі ці три методи наведемо приклад:
Обчіслімо набліжене Значення інтеграла
,
вікорістовуючі квадратурні формули прямокутніків, трапеції та Сімпсона. Для цього підготуємо Таблиця значень підінтегральної Функції у точках відрізка
Значення підінтегральної Функції у Вузли
i
x i
f (x i )
0
0
0,00000000
1
0,1
0,10049875
2
0,2
0, 20396078
<...
