е зону провідності.
При описі даного методу використовуються атомні одиниці Ридберга, згідно з якими постійна Планка h = 1, маса електрона m = 1/2 і заряд електрона e = [2, c. 162-163]. p align="justify"> Кулонівське і обмінна взаємодія
Для розрахунку потенціалу всередині МТ-сфер в чисельних розрахунках нанотрубок будується розподіл р (r) повної електронної щільності системи у вигляді суперпозиції електронних густин всіх її атомів. Усередині МТ-сфер береться його сферично симетрична частина р (r). З рішення рівняння Пуассона визначається електростатичний потенціал, створюваний розподілом р (r). Остаточно, кулонівський потенціал, всередині МТ-області виходить додаванням до функції, електростатичного потенціалу, створюваного позитивним зарядом ядра атома. p> Розподіл електронної щільності р (r) використовується також для розрахунку обмінного взаємодії за допомогою формули Слетера [2. c.166]:
В
Це не сама загальна форма для обмінного потенціалу: метод Хартрі-Фока призводить до Нелокальні обмінній взаємодії. Однак обмінно-кореляційний потенціал (51) протягом багатьох десятиліть широко і з успіхом застосовувався в розрахунках зонної структури кристалів. br/>
Інтеграли перекривання
Інтеграл від твору і по елементарній комірці Щ дорівнює інтегралу від циліндричних хвиль (68) за межсферной області плюс сума інтегралів по МТ-областям від сферичних частин базисних функцій (70) [2, c.181]:
В
Інтеграл по складній межсферной області від циліндричних хвиль (перший доданок у правій частині (103)) дорівнює інтегралу по всій комірці? за вирахуванням суми інтегралів по МТ-областям, причому інтеграл по всій комірці, в силу ортонормірованності циліндричних хвиль, дорівнює добутку?-функцій. Таким чином, вираз для інтеграла перекривання (103) приймає вигляд [2, c.181]:
В
Для розрахунку другого доданка в правій частині (104) будемо використовувати уявлення (81) циліндричної хвилі в сферичних координатах з початком у центрі сфери?. Інтегрування за обсягом МТ-області у сферичній системі координат. включає інтегрування по r в межах від 0 до, по від 0 до? і по? від 0 до 2? [2, c.182]:
В
Тут введено позначення [2, c.182]:
В
Тепер слід визначити другий інтеграл у правій частині (104) [2, c.182]:
В
Використовуємо умова ортогональності (73) сферичних гармонік, тоді [2, c.183]:
В
З урахуванням умов нормировки хвильових функцій (75) і ортогональності функцій їх похідним (76) вираз (107) перетвориться до виду [2, c.183]:
В
де - інтеграл (77). p> Підставимо тепер в (109) вираз для коефіцієнтів [2, c.183]:
В
де [2, c.184]
В
Підставляючи в (104) значення інтегралів (105) і (110) і змінюючи порядок підсумовування по l і m в (110), отримаємо остаточну формулу для інтегралів перекривання [2, c.184]:
В
