r/>
де [2, c.184]
В
Матричні елементи гамільтоніана
При визначенні матричних елементів гамільтоніану будемо користуватися тим же прийомом інтегрування базисної хвильової функції? по елементарній комірці?, а саме - інтеграл по елементарній комірці? представимо як суму інтегралів по межсферной області від циліндричних хвиль і інтегралів за внутрішніми областям МТ-сфер від сферичних частин базисних функцій [2, c.185]:
В
Приймемо за початок відліку енергії значення постійного потенціалу в межсферной області. Тоді в цій області електронний гамільтоніан збігається з оператором кінетичної енергії:. Інтеграл по межсферной області від циліндричних хвиль дорівнює інтегралу по всій комірці за вирахуванням суми інтегралів по МТ-сферам [2, c, 185]:
В
Циліндричні хвилі є власними функціями оператора кінетичної енергії електронів в порожньому циліндрі, тому [2, c.185]
В
Уявімо інтеграли по внутрішнім областям МТ-сфер у (113) і (114) у вигляді [2, c, 186]:
В
У локальній сферичної системі координат [2, c.186]:
В
де - ортонормированного одиничні вектори. Тоді [2, c.186]:
В
Вид (89) вже отримано. Похідні за координатами і і ц рівні [2, c.186]:
В
В
Знаючи похідні (88), (120) і (121), можна розрахувати праву частину (119) [2, c.187]:
В
де інтеграл визначається рівнянням (106). Інтеграл аналогічний, але в ньому замість функцій Бесселя J стоять їхні перші похідні [2, c.187]:
В
Нарешті, інтеграл має вигляд [2, c.187]:
В
Тепер необхідно розрахувати другий інтеграл у правій частині (114), що відповідає МТ-областям атомів, де [2, c.188]:
В
Враховуючи, що сферичні гармоніки ортонормірованни, знаходимо [2, c.188]:
В
З рівнянь для хвильових функцій і слід [2, c.189]:
В
Тепер (126) можна записати у вигляді [2, c.189]:
В
Використовуючи співвідношення (114, 122, 127) та вирази для коефіцієнтів і отримуємо остаточний вираз для матричних елементів гамільтоніану [2, c.189]:
В
Тут [2, c.190]
В
(Для забезпечення ермітової спряженості матриці, як і в методі ЛППВ, при розрахунку зроблена заміна на)
Нарешті, використовуючи отримані вирази для інтегралів перекривання і матричних елементів гамільтоніану, з секулярного рівняння [2, c.190]
В
можна визначити закони дисперсії електронів нанотрубки. p align="justify"> Практичні аспекти методу
Розвинений метод реалізований у вигляді програми на мові ФОРТРАН. p> Для циліндричних функцій Бесселя першого роду і другого роду та їх похідних справедливі рекурентні формули [2, c. 193]:
В
Для розрахунку використовується запропонована Міллером процедура, заснована на убуванні цієї функції із зростанням n. Н...
