чної функцією називається функція
В
Цей інтеграл сходиться для всіх дійсних t, тому що абсолютні величини не перевищують одиниці і сходиться.
Якщо випадковий вектор, визначений на вероятностном просторі (?, F, P) зі значеннями в , то його характеристичної функцією називається функція
В
де - функція розподілу вектора ).
Якщо функція F (x) має щільність f = f (x), то тоді
=
Або, в цьому випадку характеристична функція є перетворенням Фур'є функції f (x).
Також характеристичну функцію випадкового вектора можна визначити рівністю
В
З іншого боку, якщо x - дискретна випадкова величина, що приймає значення в кінцевому або рахунковому числі з імовірностями , то
В
Розглянемо основні властивості характеристичної функції:
| (t) | для всіх t .
Так як то тому | (t) |
(0) = 1, оскільки і g (0) =
В
є действітельнозначной функцією тоді і тільки тоді, коли розподіл F симетрично.
, t . Тобто функції розподілу випадкових величин - і збігаються, а отже P ( . В
Нехай Y = aX + b, де X - випадкова величина з щільністю і характеристичної функцією . Тоді:
В
Характеристична функція суми незалежних випадкових величин дорівнює добутку характеристичних функцій доданків. p align="justify"> Деякі приклади характеристичних функцій:
з імовірністю 1, тобто , то .
Якщо має показовий розподіл з щільністю при х , то .
Характеристична функція в...
