ипадкової величини однозначно визначає її функцію розподілу.
Розглянемо теорему - формулу звернення. Нехай функція розподілу і
В
її характеристична функція.
а) Для будь-яких двох точок , , де функція неперервна,
В
б) Якщо
В
то функція розподілу має щільність ,
і
Теорема Бохнера-Хінчина.
Нехай безперервна функція, , і . Для того щоб була характеристичної функцією, необхідно і достатньо, щоб вона була неотрицательно-визначеної, тобто для будь-яких дійсних і будь-яких комплексних чисел ,
В
Метод характеристичних функцій також називається теоремою Леві про безперервність. Вона є результатом, що зв'язує поточечной збіжність характеристичних функцій випадкових величин зі збіжністю цих випадкових величин за розподілом. p> Суть методу характеристичних функцій полягає в наступному. Нехай {послідовність випадкових величин, не обов'язково визначених на одному вероятностном просторі <# "25" src = "doc_zip196.jpg"/>, символом. Тоді якщо за розподілом при n, і? (T) - характеристична функція X, то.
І назад, якщо, де - функція дійсного аргументу, безперервна <# "25" src = "doc_zip203.jpg"/> з розподілу при n.
Так як характеристична функція будь випадкової величини неперервна в нулі, друге твердження має наступне тривіальне слідство. Якщо, де n (t) - характеристична функція Xn, і (t) - характеристична функція X, то з розподілу при n. p> Поняття характеристичної функції може бути узагальнено на кінцеві і нескінченні системи випадкових величин (тобто на випадкові вектори і випадкові процеси). br/>
.3 Центральна гранична теорема для незалежних однаково розподілених випадкових величин
Нехай {} - послідовність незалежних, однаково розподілених випадкових величин. Математичне сподівання M = a, дисперсія D =, S =, а Ф (х) - функція розподілу нормального закону з параметрами (0,1). Введемо ще послідовність випадкових величин
=.
Теорема. Якщо 0 <<, то пріnP ( У цьому випадку послідовність {} називається асимптотично нормальною.
З того, що М = 1 і з теорем безперервності випливає, що поряд зі слабкою збіжністю, ФМ f () Mf () для будь-якої неперервної обмеженою f має місце також збіжність М f () Mf () для будь-якої неперерв...
