ті чого матриця зводиться до вигляду, де. Це завжди можливо, якщо матриця невироджена. br/>
1.3 Узагальнення
Узагальнимо знання про системи рівнянь за допомогою таблиці 1.1.
Таблиця 1.1
Поняття Або соотношеніяФормулаОбщая система лінійних алгебраїчних уравненійОсновная матриця сістемиМатріца-стовпець вільних членовМатріца-стовпець неізвестнихМатрічная форма запису сістемиРасшіренная матриця сістемиУсловіе сумісності сістемиСістема має єдине решеніеСістема має нескінченну безліч решенійСістема несовместнаяКвадратная система лінійних алгебраїчних уравненійКвадратная система має єдине решеніеКвадратная система нескінченна безліч рішень, квадратні система несумісна , Однорідна система уравненійОднородная система має тільки нульовий решеніеОднородная система має нетривіальні решеніяКвадратная однорідна система має тільки нульовий решеніеКвадратная однорідна система має нетривіальні решеніяСтруктура загального рішення однорідної системи,
- Ф.С. Р.
- довільні числа;, - число невідомих. Структура загального розв'язку неоднорідної системи,
де - деяке приватне рішення неоднорідної системи, - спільне рішення відповідної однорідної системи.
1.4 Відповіді на теоретичні питання
1. Теорема Кронекера-Капеллі: для спільності системи необхідно і достатньо, щоб ранг матриці цієї системи дорівнював рангу її розширеної матриці
2. Система має єдине рішення, якщо ранг матриці цієї системи дорівнював рангу її розширеної матриці і дорівнює кількості невідомих системи.
3. Система має нескінченну безліч рішень, якщо ранг матриці менше кількості невідомих системи.
. Вільні змінні - ті змінні, які задаються довільними значеннями, а базисні змінні - ті, які виражаються через вільні.
5. Кількість базисних змінних дорівнює рангу матриці системи.
. Якщо ранг матриці дорівнює r, а кількість невідомих дорівнює n, то система може мати (nr) вільних змінних.
. Система називається однорідною, якщо вона має вигляд: АХ = 0, тобто всі вільні члени дорівнюють нулю.
. Рішення називається ненульовим, якщо всі змінні одночасно не приймають значення 0.
. Для того, щоб однорідна система мала тільки тривіальне рішення, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці дорівнював кількості невідомих системи.
.
