, так що
(постійна інтегрування задовольняє того умові, що при х = 0 також X = 0 і S = 0). Далі він дифференцированием знайшов вираз для d 2 S/dx 2 , d 3 S/dx 3 і т. д. і підставив їх, разом з виразом для dS/dx, в розкладання функції X, після чого, застосовуючи метод невизначених коефіцієнтів, отримав рівняння, що визначають кожне з чисел ?,?,?,?,? .... через всі попередні (рахуючи після першого ? ); це дозволяє послідовно обчислити
? = 1, ? = 1 / 2 , ? = 1 / l2 , ? = 0, е = - 1 / 720 , і т . д.
Ще раніше Ейлер виявив, що відношення двох послідовних чисел Бернуллі B 2n +2 ​​ : B < span align = "justify"> 2n c зростанням індексу необмежено зростає за абсолютною величиною (Commentarii, (1739-1750). Тому нескінченний ряд Ейлера-Маклорена, взагалі кажучи, розходиться. Тим Проте, формула підсумовування може доставляти чудові наближення, якщо обмежуватися приватними сумами ряду з належним числом членів. У щойно згаданій статті Ейлер дав новий спосіб обчислення ? , виходячи з рівності arctg, наближеною заміни інтеграла на суму і оцінки різниці arctg t - S за формулою підсумовування.
Вважаючи t = 1, Ейлер отримав і при n = 5 підрахував 12 вірних десяткових знаків. Особливості поведінки ряду він охарактеризував при цьому вичерпним чином і вказав, що для наближеного обчислення слід взяти суму тих перших членів ряду, які убувають до найменшого включно. Він навіть зробив спробу оцінити в даному випадку ступінь наближення за кількістю використаних членів і першому відкинутому члену, але наведену їм оцінку не обгрунтував. p align="justify"> Асимптотичні ряди отримали важливі застосування також у Лагранжа, Лапласа, Лежандра, який назвав ці ряду полусходящіміся (series demi-convergentes), та інших вчених. Згодом їх вивчали Коші, Пуассон, які дали...
