перші вираження залишкового члена, Якобі, Лобачевський, Остроградський і т. д. В широкому плані до побудови теорії асимптотичних розкладань приступив Л. Пуанкаре (1886). Сама формула підсумовування Ейлера - Маклорена є тепер однойіз основних в теорії кінцевих різниць і її додатках.
.2 Задача про коливання струни. Хвильове рівняння (рішення Ейлера).
Вже через рік після появи перших робіт Даламбера про струні Ейлер опублікував статтю В«Про коливанні струниВ» (Sur la vibration descordes. Mem. Ac. Berlin, (1748) 1750), істотно поглибити аналіз проблеми, про що буде сказано далі.
У щойно названої статті Ейлер спочатку виводить рівняння (1) коливання струни. Потім він формулює вимогу відшукання загального рішення цього рівняння при довільно заданій фігурі струни. Про початкової швидкості струни прямо не говориться, але з подальших викладок випливає, що вона вважається рівною кулю. За цих умов Ейлер знайшов рішення, яке, за його власним визнанням, за формою істотно не відрізняється від рішення Даламбера. Ейлер вирішив рівняння (1) при будь-якому постійному а, і тому його рішення має вигляд
у = ? (х + at) + ? (х - at), (2)
де ? і ? - функції, які визначаються з граничних і початкових умов завдання так само, як це зроблено у Даламбера.
У 1766 р. Ейлер запропонував новий метод розв'язання рівняння коливанні струни, увійшов потім у третій том його В«Інтегрального обчисленняВ» (1770), а пізніше - в усі підручники з диференціальних рівнянь. Вводячи нові координати:
u = х + at, v = х - at,
він перетворив рівняння (1) коливання струни до легко інтегрованим увазі
За сучасною термінологією координати u і v Ейлера називаються характеристичними. У цих координатах від других похідних функції залишається тільки змішана похідна. p align="justify"> Ейлер перший зрозумів, що рівняння коливання струни відображає процес поширення хвиль. Хвилею при цьому називають процес пересування відхилення якої точки струни по струні. p align="justify"> .3 Узагальнення Ейлером теореми Ферма
В останній статті Ейлер узагальнив теорему Ферма, встановивши (у позначеннях, провідних своє походження від Гауса), що
a ? (m) ? 1 (mod m),
де ? (m) є число чисел, взаємно простих з m і менш...
